Nos problemas 5-8, determine o gradiente da função dada no ponto indicado.
f(x, y, z)=x^{2} z^{2} \operatorname{sen}(4 y) ;\left(-2, \frac{\pi}{3} ; 1\right)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y,z)=x^{2}z^{2}\sin(4y)
no ponto \bigl(-2,\tfrac{\pi}{3},1\bigr).
Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial: em cada componente do gradiente, derivamos f em relação a uma variável mantendo as outras fixas.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}z^{2}\sin(4y)\bigr) =2x\,z^{2}\sin(4y),
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}z^{2}\sin(4y)\bigr) =x^{2}z^{2}\cdot 4\cos(4y) =4x^{2}z^{2}\cos(4y),
f_z=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}z^{2}\sin(4y)\bigr) =x^{2}\cdot 2z\,\sin(4y) =2x^{2}z\sin(4y).

Passo 3

Avaliamo em \bigl(x,y,z\bigr)=\bigl(-2,\tfrac{\pi}{3},1\bigr). Primeiro, os valores das funções trigonométricas:
\sin\!\Bigl(\frac{4\pi}{3}\Bigr)=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos\!\Bigl(\frac{4\pi}{3}\Bigr)=-\frac{1}{2}.
Então
f_x(-2,\tfrac{\pi}{3},1) =2\cdot(-2)\cdot1^{2}\cdot\Bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) =2\sqrt{3},
f_y(-2,\tfrac{\pi}{3},1) =4\cdot(-2)^{2}\cdot1^{2}\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr) =4\cdot4\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr) =-8,
f_z(-2,\tfrac{\pi}{3},1) =2\cdot(-2)^{2}\cdot1\cdot\Bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) =2\cdot4\cdot\Bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) =-4\sqrt{3}.

Resposta

\nabla f\bigl(-2,\tfrac{\pi}{3},1\bigr) =\bigl(2\sqrt{3},\,-8,\,-4\sqrt{3}\bigr).

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