Nos problemas 11-14, determine a derivada direcional da função dada no ponto especificado e na direção indicada.
f(x, y)=\frac{x y}{x+y} ;(2 ;-1) ; \mathbf{u}=6 \mathbf{i}+8 \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=\frac{x\,y}{x+y}
no ponto P=(2,-1) na direção do vetor \mathbf{u}=6\,\mathbf{i}+8\,\mathbf{j}.
O conteúdo que vamos usar é a definição de derivada direcional via gradiente:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}_{\!0},
onde \mathbf{u}_{\!0} é o vetor unitário na direção de \mathbf{u}.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f usando a regra do quociente. Chamando g(x,y)=x\,y e h(x,y)=x+y, temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{h\,\frac{\partial g}{\partial x}-g\,\frac{\partial h}{\partial x}}{h^2} =\frac{(x+y)\,y - (x\,y)\cdot1}{(x+y)^2} =\frac{y^2}{(x+y)^2},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{(x+y)\,x - (x\,y)\cdot1}{(x+y)^2} =\frac{x^2}{(x+y)^2}.
Logo,
\nabla f(x,y) =\biggl(\frac{y^2}{(x+y)^2},\,\frac{x^2}{(x+y)^2}\biggr).

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(2,-1). Note que x+y=2+(-1)=1, daí
\frac{\partial f}{\partial x}(2,-1) =\frac{(-1)^2}{1^2}=1, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(2,-1) =\frac{2^2}{1^2}=4.
Portanto
\nabla f(2,-1)=(1,\,4).

Passo 4

Precisamos do vetor unitário \mathbf{u}_{\!0} na direção de \mathbf{u}=(6,8). Primeiro o módulo:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10.
Assim
\mathbf{u}_{\!0}=\frac{1}{10}(6,8)=\Bigl(\tfrac{3}{5},\,\tfrac{4}{5}\Bigr).

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar
D_{\mathbf{u}}f(2,-1) =\nabla f(2,-1)\cdot\mathbf{u}_{\!0} =(1,4)\cdot\Bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\Bigr) =\frac{3}{5}+\frac{16}{5} =\frac{19}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{19}{5}

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