Nos problemas 11-14, determine a derivada direcional da função dada no ponto especificado e na direção indicada.
f(x, y)=\operatorname{arctg}\left(\frac{y}{x}\right) ;(2 ;-2) ; \mathbf{u}=\mathbf{i}-3 \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)
no ponto P=(2,-2) e pede a derivada direcional na direção do vetor \mathbf{u}=\mathbf{i}-3\mathbf{j}.
Conteúdo: derivada direcional usando gradiente e vetor unitário.

Passo 2

A derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
Então precisamos (1) achar \nabla f(x,y) pelas derivadas parciais e (2) normalizar \mathbf{u}=(1,-3).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\arctan(y/x) pela regra da cadeia. Primeiro note que
\frac{\partial}{\partial x}\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=-\frac{y}{x^2}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)=\frac{1}{x}.
Como \frac{d}{dz}\arctan(z)=\frac{1}{1+z^2}, temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{1+(y/x)^2}\,\Bigl(-\frac{y}{x^2}\Bigr) =-\frac{y}{x^2+y^2},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{1+(y/x)^2}\,\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr) =\frac{x}{x^2+y^2}.
Logo
\nabla f(x,y) =\Bigl(-\frac{y}{x^2+y^2},\,\frac{x}{x^2+y^2}\Bigr).

Passo 4

Avaliaremos o gradiente em P=(2,-2). Aqui x^2+y^2=2^2+(-2)^2=8, e
-\frac{y}{x^2+y^2} =-\frac{-2}{8} =\frac{2}{8} =\frac{1}{4}, \quad \frac{x}{x^2+y^2} =\frac{2}{8} =\frac{1}{4}.
Portanto
\nabla f(2,-2)=\Bigl(\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{4}\Bigr).

Passo 5

Agora normalizamos \mathbf{u}=(1,-3). A norma é
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{1^2+(-3)^2}=\sqrt{10},
então o vetor unitário é
\mathbf{e}_u =\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{10}},\,-\tfrac{3}{\sqrt{10}}\Bigr).

Passo 6

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar
D_{\mathbf{u}}f(2,-2) =\nabla f(2,-2)\cdot \mathbf{e}_u =\Bigl(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\Bigr)\cdot\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{10}},-\tfrac{3}{\sqrt{10}}\Bigr) =\frac{1}{4}\,\frac{1}{\sqrt{10}}+\frac{1}{4}\,\Bigl(-\frac{3}{\sqrt{10}}\Bigr) =\frac{1-3}{4\sqrt{10}} =-\frac{2}{4\sqrt{10}} =-\frac{1}{2\sqrt{10}}.

Resposta

D_{\mathbf{u}}f(2,-2)=-\frac{1}{2\sqrt{10}}.

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