Nos problemas 11-14, determine a derivada direcional da função dada no ponto especificado e na direção indicada.
f(x, y, z)=\frac{x^{2}-y^{2}}{z^{2}} ;(2 ; 4 ;-1) ; \mathbf{u}=\mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z)=\frac{x^{2}-y^{2}}{z^{2}}
no ponto P=(2,4,-1) na direção do vetor \mathbf{u}=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}.
Para isso, vamos calcular o gradiente \nabla f, avaliar em P e projetar em um vetor unitário \hat{\mathbf{u}}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f. Como
f(x,y,z)=(x^{2}-y^{2})\,z^{-2},
temos
\frac{\partial f}{\partial x} =2x\,z^{-2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =-2y\,z^{-2}, \quad \frac{\partial f}{\partial z} =(x^{2}-y^{2})(-2)\,z^{-3}.

Passo 3

Avalie \nabla f em P=(2,4,-1). Note que z^{2}=(-1)^{2}=1 e z^{3}=(-1)^{3}=-1. Assim,
\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{P} =\frac{2\cdot2}{1}=4, \quad \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{P} =\frac{-2\cdot4}{1}=-8, \quad \left.\frac{\partial f}{\partial z}\right|_{P} =\frac{-2\,(2^{2}-4^{2})}{-1} =-24.
Logo
\nabla f(P)=(4,\,-8,\,-24).

Passo 4

Normalizamos \mathbf{u}=(1,-2,1). O seu comprimento é
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{6},
portanto o vetor unitário é
\hat{\mathbf{u}} =\frac{1}{\sqrt{6}}\,(1,\,-2,\,1).

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar
D_{\hat{u}}f(P) =\nabla f(P)\cdot\hat{\mathbf{u}} =\frac{1}{\sqrt{6}}\bigl(4\cdot1+(-8)\cdot(-2)+(-24)\cdot1\bigr) =\frac{4+16-24}{\sqrt{6}} =-\frac{4}{\sqrt{6}}.

Resposta

-\frac{4}{\sqrt{6}}

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