S e \mathbf{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=f_{1}(x, y, z) \boldsymbol{i}+f_{2}(x, y, z) \boldsymbol{j}+f_{3}(x, y, z) \boldsymbol{k} e \boldsymbol{\nabla}=\frac{\partial}{\partial x} \boldsymbol{i}+\frac{\partial}{\partial y} \boldsymbol{j}+\frac{\partial}{\partial z} \boldsymbol{k}
Mostre que \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial \mathrm{f}_{3}}{\partial \mathrm{y}}-\frac{\partial \mathrm{f}_{2}}{\partial \mathrm{z}}\right) \mathbf{i}+\left(\frac{\partial \mathrm{f}_{1}}{\partial \mathrm{z}}-\frac{\partial \mathrm{f}_{3}}{\partial \mathrm{x}}\right) \mathbf{j}+\left(\frac{\partial \mathrm{f}_{2}}{\partial \mathrm{x}}-\frac{\partial \mathrm{f}_{1}}{\partial \mathrm{y}}\right) \mathbf{k} (Obs: o presente produto vetorial corresponde ao rotacional de um campo vetorial)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dado o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=f_{1}(x,y,z)\,\mathbf{i}+f_{2}(x,y,z)\,\mathbf{j}+f_{3}(x,y,z)\,\mathbf{k}
e o operador nabla
\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\,\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\,\mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\,\mathbf{k},
o rotacional (curl) definido por \nabla\times\mathbf{F} é
\bigl(\tfrac{\partial f_{3}}{\partial y}-\tfrac{\partial f_{2}}{\partial z}\bigr)\mathbf{i} +\bigl(\tfrac{\partial f_{1}}{\partial z}-\tfrac{\partial f_{3}}{\partial x}\bigr)\mathbf{j} +\bigl(\tfrac{\partial f_{2}}{\partial x}-\tfrac{\partial f_{1}}{\partial y}\bigr)\mathbf{k}.
O conteúdo aqui é a definição de produto vetorial usando determinante e propriedades de derivadas parciais.

Passo 2

Recordamos que, por definição, o produto vetorial entre \nabla e \mathbf{F} pode ser escrito como o determinante
\nabla\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] f_{1} & f_{2} & f_{3} \end{vmatrix}.]

Passo 3

Expansão pela primeira linha dá o componente na direção \mathbf{i}:
\bigl(\nabla\times\mathbf{F}\bigr)\cdot \mathbf{i} = \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\[4pt] f_{2} & f_{3} \end{vmatrix} = \frac{\partial f_{3}}{\partial y} - \frac{\partial f_{2}}{\partial z}.]

Passo 4

Para o componente na direção \mathbf{j}, temos o co-fator com sinal negativo:
\bigl(\nabla\times\mathbf{F}\bigr)\cdot \mathbf{j} = - \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial z} \\[4pt] f_{1} & f_{3} \end{vmatrix} = -\Bigl(\frac{\partial f_{3}}{\partial x} - \frac{\partial f_{1}}{\partial z}\Bigr) = \frac{\partial f_{1}}{\partial z} - \frac{\partial f_{3}}{\partial x}.]

Passo 5

Finalmente, o componente na direção \mathbf{k} vem do último menor:
\bigl(\nabla\times\mathbf{F}\bigr)\cdot \mathbf{k} = \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\[4pt] f_{1} & f_{2} \end{vmatrix} = \frac{\partial f_{2}}{\partial x} - \frac{\partial f_{1}}{\partial y}.]

Resposta

\nabla\times\mathbf{F} =\bigl(\tfrac{\partial f_{3}}{\partial y}-\tfrac{\partial f_{2}}{\partial z}\bigr)\mathbf{i} +\bigl(\tfrac{\partial f_{1}}{\partial z}-\tfrac{\partial f_{3}}{\partial x}\bigr)\mathbf{j} +\bigl(\tfrac{\partial f_{2}}{\partial x}-\tfrac{\partial f_{1}}{\partial y}\bigr)\mathbf{k}.

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