Nos Problemas 11-24, expanda a função indicada em uma série apropriada de co-senos ou de senos.
f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x+1, & -1<x<0 \\\ x-1, & 0 \leq x<1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função definida em (-1,1)\): \[f(x)=\begin{cases} x+1, & -1<x<0,\\[4pt] x-1, & 0\le x<1. \end{cases}
O que se pede: expandir (f(x)] em uma série apropriada de cossenos ou de senos (ou seja, escolher a série correta — só cossenos ou só senos — e determinar os coeficientes).
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio considerado: (-1,1) (é natural aqui pensar numa série de Fourier de período 2 — isto é, L=1).
  • A função é dada por duas expressões lineares, uma em -1<x<0 e outra em 0\le x<1.
  • Não há outras informações (valores pontuais não alteram a série de Fourier em L^2).]

Passo 2

Primeiro vamos ver qual tipo de série (senos ou cossenos) é “apropriada” observando a simetria de f.
Calcule f(-x) para x\in(0,1). Como -x\in(-1,0) vale
f(-x)=(-x)+1=1-x.
Para x\in(0,1) temos
f(x)=x-1.
Note que
f(-x)=1-x=-(x-1)=-f(x).
Ou seja, para quase todo x\in(0,1) (exceto pontos isolados) f(-x)=-f(x). Portanto f é uma função ímpar (odd) em (-1,1) no sentido útil para séries de Fourier.
Lembrete prático (fórmulas que vamos usar).
  • Para uma função de período 2L (aqui L=1) a série de Fourier geral é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(n\pi x/L)+b_n\sin(n\pi x/L)\bigr).
  • Se f é ímpar, todos os coeficientes a_n (incluindo a_0) são zero e a série reduz-se a uma série apenas em senos:
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\bigl(n\pi x/L\bigr).
  • Fórmula para os coeficientes b_n (caso geral):
b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\bigl(n\pi x/L\bigr)\,dx.
Como f é ímpar e \sin é ímpar, o produto f(x)\sin\bigl(n\pi x/L\bigr) é par, e assim podemos usar a simplificação
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\bigl(n\pi x/L\bigr)\,dx.
Aqui L=1, portanto
b_n=2\int_{0}^{1} f(x)\sin(n\pi x)\,dx.

Passo 3

Agora calculemos explicitamente b_n. Para x\in(0,1) temos f(x)=x-1, logo
b_n=2\int_{0}^{1} (x-1)\sin(n\pi x)\,dx.
Calcule a integral
I_n=\int_{0}^{1} (x-1)\sin(n\pi x)\,dx.
Faça integração por partes: escolha u=x-1 e dv=\sin(n\pi x)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(n\pi x)}{n\pi}. Assim
I_n=(x-1)\left(-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\right)\Big|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\left(-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\right)\,dx.
Avalie o termo de fronteira:
(x-1)\left(-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\right)\Big|_{0}^{1} = (1-1)\left(-\frac{\cos(n\pi)}{n\pi}\right) - (0-1)\left(-\frac{\cos 0}{n\pi}\right) = 0 - \bigl(-1\bigr)\bigl(-\tfrac{1}{n\pi}\bigr) = -\frac{1}{n\pi}.
O integral restante é
-\int_{0}^{1}\left(-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\right)\,dx = \frac{1}{n\pi}\int_{0}^{1}\cos(n\pi x)\,dx = \frac{1}{n\pi}\left[\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\right]_0^1 = \frac{1}{n\pi}\cdot\frac{\sin(n\pi)}{n\pi}=0,
pois \sin(n\pi)=0 para todo n\in\mathbb{Z}. Portanto
I_n=-\frac{1}{n\pi}.
Logo
b_n=2I_n=-\frac{2}{n\pi}.

Passo 4

Assim a série de Fourier (série só de senos) da função f em (-1,1) com período 2 é
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(n\pi x) = \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2}{n\pi}\right)\sin(n\pi x) = -\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n\pi x)}{n}.
Observações didáticas e úteis para prova:
  • A escolha da série só de senos veio da verificação de que f é ímpar; funções ímpares têm expansão apenas em senos (nenhuma componente em cossenos).
  • O coeficiente b_n foi obtido usando integração por partes; esse é o passo padrão sempre que aparece uma função polinomial vezes seno ou cosseno.
  • Em pontos de descontinuidade (aqui em x=0) a série converge para a média dos limites laterais. No caso, \lim_{x\to0^-}f(x)=1 e \lim_{x\to0^+}f(x)=-1, média 0; a soma da série em x=0 é 0, consistente com a propriedade geral das séries de Fourier.

Resposta

f(x)=-\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n\pi x)}{n}.

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