Nos Problemas 11-24, expanda a função indicada em uma série apropriada de co-senos ou de senos. f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x+1, & -1<x<0 \\\ x-1, & 0 \leq x<1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a função definida em (-1,1)\):
\[f(x)=\begin{cases} x+1, & -1<x<0,\\[4pt] x-1, & 0\le x<1. \end{cases}
O que se pede: expandir (f(x)] em uma série apropriada de cossenos ou de senos (ou seja, escolher a série correta — só cossenos ou só senos — e determinar os coeficientes).
Informações relevantes fornecidas:
Domínio considerado: (-1,1) (é natural aqui pensar numa série de Fourier de período 2 — isto é, L=1).
A função é dada por duas expressões lineares, uma em -1<x<0 e outra em 0\le x<1.
Não há outras informações (valores pontuais não alteram a série de Fourier em L^2).]
Passo 2
Primeiro vamos ver qual tipo de série (senos ou cossenos) é “apropriada” observando a simetria de f.
Calcule f(-x) para x\in(0,1). Como -x\in(-1,0) vale
f(-x)=(-x)+1=1-x.
Para x\in(0,1) temos
f(x)=x-1.
Note que
f(-x)=1-x=-(x-1)=-f(x).
Ou seja, para quase todo x\in(0,1) (exceto pontos isolados) f(-x)=-f(x). Portanto f é uma função ímpar (odd) em (-1,1) no sentido útil para séries de Fourier.
Lembrete prático (fórmulas que vamos usar).
Para uma função de período 2L (aqui L=1) a série de Fourier geral é
A escolha da série só de senos veio da verificação de que f é ímpar; funções ímpares têm expansão apenas em senos (nenhuma componente em cossenos).
O coeficiente b_n foi obtido usando integração por partes; esse é o passo padrão sempre que aparece uma função polinomial vezes seno ou cosseno.
Em pontos de descontinuidade (aqui em x=0) a série converge para a média dos limites laterais. No caso, \lim_{x\to0^-}f(x)=1 e \lim_{x\to0^+}f(x)=-1, média 0; a soma da série em x=0 é 0, consistente com a propriedade geral das séries de Fourier.