Nos Problemas 11-24, expanda a função indicada em uma série apropriada de co-senos ou de senos. f(x)=x^{3},-\pi<x<\pi
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=x^{3} definida em -\pi<x<\pi e pede que seja expandida em uma série apropriada de cossenos ou de senos. Informações importantes que extraí do enunciado:
A função é f(x)=x^{3} para -\pi<x<\pi.
A função x^{3} é uma função ímpar, ou seja, f(-x)=-f(x) para todo x.
Quando a função é ímpar num intervalo simétrico -\pi< x<\pi, a série apropriada contém apenas termos de senos (porque os senos também são ímpares e correspondem à expansão ímpar).
O objetivo concreto: encontrar os coeficientes b_{n} da série do tipo
\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin(nx),
ou seja, obter explicitamente esses b_n.
Passo 2
Para obter os coeficientes da série só de senos usamos a fórmula (derivada da ortogonalidade dos senos):
O termo de bordo é -\dfrac{\pi\cos(n\pi)}{n}=-\dfrac{\pi(-1)^{n}}{n}. A integral \int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx=\left.\dfrac{\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}=0. Portanto
Isso dá explicitamente os coeficientes que multiplicam \sin(nx). Em prova, o procedimento a decorar é: reconhecer paridade (aqui ímpar), usar a fórmula que reduz a integral ao intervalo [0,\pi] e aplicar integração por partes repetida, cuidando dos termos de bordo com \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^{n}.
Passo 5
Resumo prático para a prova (passos que você aplica rapidamente):
Verifique a paridade de f. Se for ímpar, só senos; se for par, só cossenos.
Use b_n=\dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx para função ímpar.
Calcule a integral por partes quantas vezes forem necessárias até sobrar integrais elementares.
Substitua e simplifique os fatores (-1)^{n}, \sin(n\pi)=0, \cos(n\pi)=(-1)^{n}.