Nos Problemas 11-24, expanda a função indicada em uma série apropriada de co-senos ou de senos.
f(x)=x^{3},-\pi<x<\pi

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3} definida em -\pi<x<\pi e pede que seja expandida em uma série apropriada de cossenos ou de senos. Informações importantes que extraí do enunciado:
  • A função é f(x)=x^{3} para -\pi<x<\pi.
  • A função x^{3} é uma função ímpar, ou seja, f(-x)=-f(x) para todo x.
  • Quando a função é ímpar num intervalo simétrico -\pi< x<\pi, a série apropriada contém apenas termos de senos (porque os senos também são ímpares e correspondem à expansão ímpar).
    O objetivo concreto: encontrar os coeficientes b_{n} da série do tipo
\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin(nx),
ou seja, obter explicitamente esses b_n.

Passo 2

Para obter os coeficientes da série só de senos usamos a fórmula (derivada da ortogonalidade dos senos):
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Como f é ímpar e \sin(nx) também é ímpar, o produto f(x)\sin(nx) é par; por isso podemos simplificar a integral usando a simetria:
b_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Aqui:
  • n é um inteiro positivo ( n=1,2,3,\dots);
  • b_n é o coeficiente que multiplica \sin(nx) na série;
  • a integral será calculada sem usar calculadora, por integração por partes repetida.

Passo 3

Vamos calcular a integral principal
I_n=\int_{0}^{\pi} x^{3}\sin(nx)\,dx,
porque b_n=\dfrac{2}{\pi}I_n.
Fazemos integração por partes escolhendo u=x^{3} e dv=\sin(nx)\,dx. Então du=3x^{2}\,dx e v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim:
I_n=\left[-\frac{x^{3}\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}+\frac{3}{n}\int_{0}^{\pi} x^{2}\cos(nx)\,dx.
Avaliaremos o termo de bordo e a nova integral. O termo de bordo é
\left[-\frac{x^{3}\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}=-\frac{\pi^{3}\cos(n\pi)}{n}=-\frac{\pi^{3}(-1)^{n}}{n},
pois \cos(n\pi)=(-1)^{n}.
Definimos
J_n=\int_{0}^{\pi} x^{2}\cos(nx)\,dx.
Para J_n aplicamos integração por partes novamente, com u=x^{2}, dv=\cos(nx)\,dx. Então du=2x\,dx, v=\dfrac{\sin(nx)}{n}, e obtemos
J_n=\left[\frac{x^{2}\sin(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}-\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
O termo de bordo \left[\dfrac{x^{2}\sin(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi} vale zero porque \sin(n\pi)=0. Assim
J_n=-\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Chamemos
K_n=\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Calculamos K_n por partes com u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx, v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}, logo
K_n=\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
O termo de bordo é -\dfrac{\pi\cos(n\pi)}{n}=-\dfrac{\pi(-1)^{n}}{n}. A integral \int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx=\left.\dfrac{\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}=0. Portanto
K_n=-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}.
Voltando a J_n,
J_n=-\frac{2}{n}K_n=-\frac{2}{n}\left(-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}\right)=\frac{2\pi(-1)^{n}}{n^{2}}.
Agora retornamos a I_n:
I_n=-\frac{\pi^{3}(-1)^{n}}{n}+\frac{3}{n}J_n =-\frac{\pi^{3}(-1)^{n}}{n}+\frac{3}{n}\cdot\frac{2\pi(-1)^{n}}{n^{2}}.
Agrupando fatores:
I_n = (-1)^{n}\left(-\frac{\pi^{3}}{n}+\frac{6\pi}{n^{3}}\right) =(-1)^{n}\pi\left(-\frac{\pi^{2}}{n}+\frac{6}{n^{3}}\right).

Passo 4

Lembrando b_{n}=\dfrac{2}{\pi}I_n, substituímos o I_n encontrado:
b_{n}=\frac{2}{\pi}\cdot (-1)^{n}\pi\left(-\frac{\pi^{2}}{n}+\frac{6}{n^{3}}\right) =2(-1)^{n}\left(-\frac{\pi^{2}}{n}+\frac{6}{n^{3}}\right).
Simplificando o sinal, uma forma conveniente é
b_{n}=(-1)^{n+1}\left(\frac{2\pi^{2}}{n}-\frac{12}{n^{3}}\right).
Isso dá explicitamente os coeficientes que multiplicam \sin(nx). Em prova, o procedimento a decorar é: reconhecer paridade (aqui ímpar), usar a fórmula que reduz a integral ao intervalo [0,\pi] e aplicar integração por partes repetida, cuidando dos termos de bordo com \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^{n}.

Passo 5

Resumo prático para a prova (passos que você aplica rapidamente):
  • Verifique a paridade de f. Se for ímpar, só senos; se for par, só cossenos.
  • Use b_n=\dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx para função ímpar.
  • Calcule a integral por partes quantas vezes forem necessárias até sobrar integrais elementares.
  • Substitua e simplifique os fatores (-1)^{n}, \sin(n\pi)=0, \cos(n\pi)=(-1)^{n}.

Resposta

x^{3}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\frac{2\pi^{2}}{n}-\frac{12}{n^{3}}\right)\sin(nx),\qquad -\pi<x<\pi

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