Nos Problemas 11-24, expanda a função indicada em uma série apropriada de co-senos ou de senos.
f(x)=x^{2},-1<x<1

Passo 1

O enunciado pede: “Expandir a função f(x)=x^{2} em uma série apropriada de cossenos ou de senos no intervalo -1<x<1.”
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{2} definida para -1<x<1.
  • A tarefa é obter uma expansão em série trigonométrica (serie de cossenos ou de senos) válida nesse intervalo.
  • Observação direta dos dados: \,f(x)=x^{2}\, é uma função par, isto é, f(-x)=f(x) para todo x.

Passo 2

Por que isso importa (explicação didática e método escolhido).
  • Quando a função é par, a expansão em série trigonométrica que usa apenas cossenos é a mais simples, porque cosseno é função par e seno é função ímpar. Assim a série de cossenos reproduz naturalmente a simetria da função.
  • A forma geral da série de cossenos no intervalo (-1,1) (isto é, com meio-período L=1) é:
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\cos(n\pi x).
Aqui:
  • \,a_{0}\, e \,a_{n}\, são os coeficientes da série (números a calcular).
  • A fórmula prática para esses coeficientes, para uma função definida em [ -1,1] e considerada par, é:
a_{0}=2\int_{0}^{1} f(x)\,dx, \qquad a_{n}=2\int_{0}^{1} f(x)\cos(n\pi x)\,dx\quad(n\ge1).
Explicando: o fator 2 aparece porque estamos integrando apenas em 0 a 1 (metade do intervalo) e aproveitamos a paridade para dobrar a contribuição; o argumento n\pi x vem do fato de que o período básico é 2 (logo as frequências são múltiplos de \pi).

Passo 3

Calcular a_{0}.
  • Usar a função f(x)=x^{2} na fórmula:
a_{0}=2\int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
  • Calcular a integral:
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
  • Logo
a_{0}=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
  • Na forma da série aparece \dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{1}{3}.

Passo 4

Calcular a_{n} para n\ge1. Montagem da integral:
a_{n}=2\int_{0}^{1} x^{2}\cos(n\pi x)\,dx.
Para facilitar, defina k=n\pi. Então precisamos calcular
I(k)=\int_{0}^{1} x^{2}\cos(kx)\,dx, \qquad\text{com }k=n\pi.

Passo 5

Resolver a integral I(k) por partes (duas vezes), explicando cada escolha.
  • Primeira integração por partes: escolha u=x^{2} (derivando fica simples) e dv=\cos(kx)\,dx (integra-se para seno).
    • u=x^{2}\Rightarrow du=2x\,dx.
    • dv=\cos(kx)\,dx\Rightarrow v=\dfrac{\sin(kx)}{k}.
  • Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
I(k)=\left.\frac{x^{2}\sin(kx)}{k}\right|_{0}^{1}-\frac{2}{k}\int_{0}^{1} x\sin(kx)\,dx.
  • Agora calcular J(k)=\int_{0}^{1} x\sin(kx)\,dx por partes de novo.
    • Escolha u=x\Rightarrow du=dx e dv=\sin(kx)\,dx\Rightarrow v=-\dfrac{\cos(kx)}{k}.
    • Então
    J(k)=\left.-\frac{x\cos(kx)}{k}\right|_{0}^{1}+\frac{1}{k}\int_{0}^{1}\cos(kx)\,dx.
    • A integral remanescente é \dfrac{1}{k}\int_{0}^{1}\cos(kx)\,dx=\dfrac{1}{k}\left[\dfrac{\sin(kx)}{k}\right]_{0}^{1}=\dfrac{\sin(k)}{k^{2}}.
    • Assim
    J(k)=-\frac{1\cdot\cos(k)}{k}+0+\frac{\sin(k)}{k^{2}}=-\frac{\cos(k)}{k}+\frac{\sin(k)}{k^{2}}.
  • Voltar para I(k):
I(k)=\frac{1^{2}\sin(k)}{k}-\frac{2}{k}J(k).
Substituindo J(k):
I(k)=\frac{\sin(k)}{k}-\frac{2}{k}\left(-\frac{\cos(k)}{k}+\frac{\sin(k)}{k^{2}}\right) =\frac{\sin(k)}{k}+\frac{2\cos(k)}{k^{2}}-\frac{2\sin(k)}{k^{3}}.

Passo 6

Avaliar I(k) nos limites e simplificar usando k=n\pi.
  • Para k=n\pi temos \sin(k)=\sin(n\pi)=0 e \cos(k)=\cos(n\pi)=(-1)^{n}.
  • Substituindo na expressão de I(k):
I(n\pi)=0+\frac{2(-1)^{n}}{(n\pi)^{2}}-0=\frac{2(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}}.
  • Lembrando que a_{n}=2I(n\pi), obtemos
a_{n}=2\cdot\frac{2(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}}=\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}}.

Passo 7

Escrever a série completa e comentar convergência (dicas para prova).
  • Substituindo a_{0}/2=1/3 e a_{n} na forma da série de cossenos, obtemos
x^{2}=\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}}\cos(n\pi x), \qquad -1<x<1.
  • Observações úteis para a prova (curtas e práticas):
    • Procedimento padrão: ver a paridade da função; par -> série de cossenos (metade do intervalo, integrar de 0 a 1); ímpar -> série de senos.
    • Para calcular coeficientes com \cos(n\pi x) frequentemente aparece a necessidade de integrar por partes duas vezes quando f é polinomial como aqui.
    • A série converge para x^{2} para todo -1<x<1; nos pontos x=\pm1 converge para a média dos limites laterais (detalhe técnico que raramente é exigido explicitamente numa prova de cálculo básico).

Resposta

x^{2}=\frac{1}{3}+\frac{4}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\cos(n\pi x),\qquad -1<x<1.

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