Nos Problemas 11-24, expanda a função indicada em uma série apropriada de co-senos ou de senos. f(x)=x^{2},-1<x<1
Passo 1
O enunciado pede: “Expandir a função f(x)=x^{2} em uma série apropriada de cossenos ou de senos no intervalo -1<x<1.”
Informações dadas:
A função é f(x)=x^{2} definida para -1<x<1.
A tarefa é obter uma expansão em série trigonométrica (serie de cossenos ou de senos) válida nesse intervalo.
Observação direta dos dados: \,f(x)=x^{2}\, é uma função par, isto é, f(-x)=f(x) para todo x.
Passo 2
Por que isso importa (explicação didática e método escolhido).
Quando a função é par, a expansão em série trigonométrica que usa apenas cossenos é a mais simples, porque cosseno é função par e seno é função ímpar. Assim a série de cossenos reproduz naturalmente a simetria da função.
A forma geral da série de cossenos no intervalo (-1,1) (isto é, com meio-período L=1) é:
Explicando: o fator 2 aparece porque estamos integrando apenas em 0 a 1 (metade do intervalo) e aproveitamos a paridade para dobrar a contribuição; o argumento n\pi x vem do fato de que o período básico é 2 (logo as frequências são múltiplos de \pi).
Observações úteis para a prova (curtas e práticas):
Procedimento padrão: ver a paridade da função; par -> série de cossenos (metade do intervalo, integrar de 0 a 1); ímpar -> série de senos.
Para calcular coeficientes com \cos(n\pi x) frequentemente aparece a necessidade de integrar por partes duas vezes quando f é polinomial como aqui.
A série converge para x^{2} para todo -1<x<1; nos pontos x=\pm1 converge para a média dos limites laterais (detalhe técnico que raramente é exigido explicitamente numa prova de cálculo básico).