Nos Problemas 11.37 a 11.43, determine a forma de uma solução particular de L(x)=phi(t) para phi(t) dada, se a solução da equação homogênea associada L(x)=0 for xh=c1+c2e^t+c3te^t.
phi(t)=te^-2t+3

Passo 1

O enunciado pede para achar a forma de um palpite (ansatz) de solução particular para a EDO linear de 3º ordem L(x)=φ(t), sabendo que a solução geral da homogênea é x_h=c₁ + c₂eᵗ + c₃teᵗ e que φ(t)=te^{−2t}+3. Vamos usar o método dos coeficientes não determinados.

Passo 2

Como φ(t) tem um termo constante 3 (polinômio de grau zero), em geral tentaríamos um palpite polinomial de grau 0, isto é x_{p1}=A. Mas ao substituir na EDO o constante some (as derivadas são zero), então elevamos o grau e usamos x_{p1}=At+B para que a derivada não seja nula.

Passo 3

Para o termo te^{−2t}, como α=−2 não é raiz do polinômio característico (as raízes são 0 e 1), podemos usar o ansatz padrão de polinômio de grau 1 vezes e^{−2t}: x_{p2}=(Ct+D)e^{−2t}.

Passo 4

A forma geral do palpite para a solução particular é a soma dos dois:
xp(t)=At+B+(Ct+D)e^-2t

Resposta

x_p(t)=At+B+(Ct+D)e^{-2t}

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