Nos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dados.
& 2 x^prime=(rr 1 & raiz3 raiz3 & -1 ) x+binome^traiz3 e^-t

Passo 1

O sistema dado é x' = Ax + f(t), com
A = 1 & raiz3raiz3 & -1, f(t)=e^t raiz3,e^-t
O conteúdo é resolução de sistemas lineares não homogêneos de primeira ordem. Vamos precisar achar a solução geral, que é a soma da solução do sistema homogêneo x'=Ax e de uma solução particular do sistema completo.

Passo 2

Para resolver o homogêneo, calculamos os autovalores de A. A equação característica é
det(A-lambda I)=lambda^2-4=0
Logo, os autovalores são lambda1=2 e lambda2=-2.

Passo 3

Em seguida, achamos os autovetores:
Para lambda1=2, resolvendo (A-2I)v=0 obtemos
v1=raiz31
Para lambda2=-2, resolvendo (A+2I)w=0 obtemos
v2=1-raiz3

Passo 4

Assim, a solução do sistema homogêneo é
xh(t)=C1e^2traiz31+C2e^-2t1-raiz3

Passo 5

Para encontrar uma solução particular, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Supomos
xp(t)=p,e^t+q,e^-t,
onde p e q são vetores constantes. Substituindo em x'=Ax+f(t) e igualando coeficientes:
  1. Para e^t: (I-A)p=10 leva a
p=-tfrac23-tfrac1raiz3
  1. Para e^-t: (I+A)q=0-raiz3 leva a
q=-1tfrac2raiz3
Portanto,
xp(t)=-tfrac23-tfrac1raiz3e^t+-1tfrac2raiz3e^-t

Passo 6

A solução geral do sistema é a soma das partes homogênea e particular:

Resposta

raiz31

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