Nos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dados.
Passo 1
O sistema dado é
, com
O conteúdo é resolução de sistemas lineares não homogêneos de primeira ordem. Vamos precisar achar a solução geral, que é a soma da solução do sistema homogêneo
e de uma solução particular do sistema completo.
Passo 2
Para resolver o homogêneo, calculamos os autovalores de
. A equação característica é
Logo, os autovalores são
e
.
Passo 3
Em seguida, achamos os autovetores:
Para , resolvendo
obtemos
Para
Para
, resolvendo
obtemos
Passo 4
Assim, a solução do sistema homogêneo é
Passo 5
Para encontrar uma solução particular, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Supomos
onde
e
são vetores constantes. Substituindo em
e igualando coeficientes:
- Para
: leva a
- Para
: leva a
Portanto,
Passo 6
A solução geral do sistema é a soma das partes homogênea e particular: