Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
(h) f(x)=cos ^2 x.

Passo 1

Na questão temos a função f(x)=cos^2 x. O tópico é análise de funções: derivadas para determinar pontos críticos, extremos, monotonia, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e esboço do gráfico. O domínio de f é todo R. Observa-se que f é periódica de período pi, pois cos^2(x+pi)=cos^2 x. Como é limitada entre 0 e 1, não há assíntotas.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia para calcular a primeira derivada.
f'(x)=2cos xcdot(-sin x)=-sin(2x)
Os pontos críticos ocorrem quando f'(x)=0, ou seja sin(2x)=0, resultando em
x=kpi2, kin Z

Passo 3

Classificamos os extremos e intervalos de monotonia:
  • Em x=kpi, temos f=1, são máximos locais.
  • Em x=tfracpi2+kpi, temos f=0, são mínimos locais.
Para monotonia:
  • f'>0 quando -sin(2x)>0 sin(2x)<0 xin(tfracpi2+kpi,pi+kpi) (função cresce).
  • f'<0 quando -sin(2x)<0 sin(2x)>0 xin(kpi,tfracpi2+kpi) (função decresce).

Passo 4

Agora a segunda derivada dá a concavidade e pontos de inflexão.
f''(x)=-2cos(2x)
Pontos de inflexão: f''(x)=0 cos(2x)=0
x=pi4+kpi2, kin Z,
onde f(x)=tfrac12.
Intervalos de concavidade:
  • f''>0 (côncava para cima) quando cos(2x)<0 xin(tfracpi4+kpi,tfrac3pi4+kpi).
  • f''<0 (côncava para baixo) quando cos(2x)>0 xin(kpi-tfracpi4,kpi+tfracpi4).

Passo 5

As assíntotas não existem devido à periodicidade e limitação de f. Para esboçar o gráfico, consideramos o intervalo [0,pi] com pontos-chave
  • (0,1)
  • (tfracpi2,0)
  • (pi,1)
e repetimos este padrão a cada período pi.

Resposta

Pontos críticos em x=tfrackpi2; máximos em x=kpi com f=1; mínimos em x=tfracpi2+kpi com f=0; função cresce em (tfracpi2+kpi,pi+kpi) e decresce em (kpi,tfracpi2+kpi); côncava para cima em (tfracpi4+kpi,tfrac3pi4+kpi) e para baixo em (kpi-tfracpi4,kpi+tfracpi4); pontos de inflexão em x=tfracpi4+tfrackpi2 com f=tfrac12; sem assíntotas; gráfico periódico de período pi oscilando entre 0 e 1.

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