Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
(h)
.
(h)
Passo 1
Na questão temos a função
. O tópico é análise de funções: derivadas para determinar pontos críticos, extremos, monotonia, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e esboço do gráfico. O domínio de
é todo
. Observa-se que
é periódica de período
, pois
. Como é limitada entre 0 e 1, não há assíntotas.
Passo 2
Aplicamos a regra da cadeia para calcular a primeira derivada.
Os pontos críticos ocorrem quando
, ou seja
, resultando em
Passo 3
Classificamos os extremos e intervalos de monotonia:
- Em
, temos , são máximos locais. - Em
, temos , são mínimos locais.
Para monotonia:
-
quando ⇒ ⇒ (função cresce). -
quando ⇒ ⇒ (função decresce).
Passo 4
Agora a segunda derivada dá a concavidade e pontos de inflexão.
Pontos de inflexão:
⇒
⇒
onde
.
Intervalos de concavidade:
-
(côncava para cima) quando ⇒ . -
(côncava para baixo) quando ⇒ .
Passo 5
As assíntotas não existem devido à periodicidade e limitação de
. Para esboçar o gráfico, consideramos o intervalo
com pontos-chave
e repetimos este padrão a cada período
.
Resposta
Pontos críticos em
; máximos em
com
; mínimos em
com
; função cresce em
e decresce em
; côncava para cima em
e para baixo em
; pontos de inflexão em
com
; sem assíntotas; gráfico periódico de período
oscilando entre 0 e 1.