Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
© f(x)=x^4-16 x^2+48.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função . Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar os pontos críticos, máximos e mínimos, regiões de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão, e assíntotas, caso elas existam. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função, que nos ajuda a identificar os pontos críticos e entender onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de f'(x) = ddx(x^4) - ddx(16x^2) + ddx(48) = 4x^3 - 32x é:

Passo 3

Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo 4x^3 - 32x = 0 4x(x^2 - 8) = 0 x = 0 ou x = pm raiz8 = pm 2raiz2 :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos determinar onde a função está crescendo e decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da primeira derivada f'(-3) = 4(-3)^3 - 32(-3) = -108 + 96 = -12 (decrece) :
  • Para f'(-1) = 4(-1)^3 - 32(-1) = -4 + 32 = 28 (cresce) , escolhemos f'(1) = 4(1)^3 - 32(1) = 4 - 32 = -28 (decrece) :
    f'(3) = 4(3)^3 - 32(3) = 108 - 96 = 12 (cresce)
  • Para , escolhemos :
  • Para , escolhemos :
  • Para , escolhemos :
Então, a função está decrescente em e , e crescente em e .

Passo 5

Vamos agora identificar os máximos e mínimos usando a segunda derivada. Primeiro, calculamos f''(x) = ddx(4x^3 - 32x) = 12x^2 - 32 :
12x^2 - 32 = 0 x^2 = 3212 = 83 x = pm raiz83 = pm 2raiz63
Resolvendo f''(0) = -32 (concavidade para baixo) Rightarrow Máximo local :
f''(2raiz2) = 12(8) - 32 = 96 - 32 = 64 (concavidade para cima) Rightarrow Mínimo local
Agora, testamos o sinal de para determinar se são máximos ou mínimos:
  • Para :
    á
  • Para :
    í
Então, temos um máximo local em e mínimos locais em .

Passo 6

Vamos analisar a concavidade e os pontos de inflexão com base na segunda derivada :
  • Quando , a função é côncava para cima.
  • Quando , a função é côncava para baixo.
Os pontos onde são os pontos de inflexão. Já vimos que esses pontos são .

Passo 7

Por fim, vamos verificar as assíntotas da função. Como é um polinômio de grau 4, ela não possui assíntotas horizontais ou verticais, pois polinômios não têm denominadores que possam gerar assíntotas verticais, e seu comportamento para tende a , não se aproximando de uma linha específica.

Resposta

Resumindo, para a função :
  • Pontos críticos: , .
  • Máximo local: Em com .
  • Mínimos locais: Em com .
  • Regiões de crescimento: e .
  • Regiões de decrescimento: e .
  • Concavidade:
    • Côncava para cima em e .
    • Côncava para baixo em .
  • Pontos de inflexão: .
  • Assíntotas: Não existem assíntotas.
Com todas essas informações, dá para esboçar o gráfico da função, identificando os pontos de máximo e mínimo, as regiões onde a função cresce ou decresce, a concavidade e os pontos de inflexão.

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