Para cada função dada nos itens a seguir, determine os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo, as regiões de crescimento e decrescimento, a concavidade e os pontos de inflexão, as assíntotas, caso existam e construam os respectivos gráficos.
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.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função
. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar os pontos críticos, máximos e mínimos, regiões de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão, e assíntotas, caso elas existam. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função, que nos ajuda a identificar os pontos críticos e entender onde a função está crescendo ou decrescendo. A derivada de
é:
Passo 3
Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos determinar onde a função está crescendo e decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da primeira derivada
:
-
Para
, escolhemos : -
Para
, escolhemos : -
Para
, escolhemos : -
Para
, escolhemos :
Então, a função está decrescente em
e
, e crescente em
e
.
Passo 5
Vamos agora identificar os máximos e mínimos usando a segunda derivada. Primeiro, calculamos
:
Resolvendo
:
Agora, testamos o sinal de
para determinar se são máximos ou mínimos:
-
Para
: -
Para
:
Então, temos um máximo local em
e mínimos locais em
.
Passo 6
Vamos analisar a concavidade e os pontos de inflexão com base na segunda derivada
:
- Quando
, a função é côncava para cima. - Quando
, a função é côncava para baixo.
Os pontos onde
são os pontos de inflexão. Já vimos que esses pontos são
.
Passo 7
Por fim, vamos verificar as assíntotas da função. Como
é um polinômio de grau 4, ela não possui assíntotas horizontais ou verticais, pois polinômios não têm denominadores que possam gerar assíntotas verticais, e seu comportamento para
tende a
, não se aproximando de uma linha específica.
Resposta
Resumindo, para a função
:
- Pontos críticos:
, . - Máximo local: Em
com . - Mínimos locais: Em
com . - Regiões de crescimento:
e . - Regiões de decrescimento:
e . - Concavidade:
- Côncava para cima em
e . - Côncava para baixo em
.
- Côncava para cima em
- Pontos de inflexão:
. - Assíntotas: Não existem assíntotas.
Com todas essas informações, dá para esboçar o gráfico da função, identificando os pontos de máximo e mínimo, as regiões onde a função cresce ou decresce, a concavidade e os pontos de inflexão.