Nos Problemas 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação, encontrar um fator integrante e então integrar para achar a solução geral. Depois, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante específica.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações lineares, que é:
Nossa equação original é:
Então, dividimos todos os termos por 
  (lembrando que 
 ) para isolar 
 :
Passo 3
Agora, identificamos 
  e 
  na equação padrão:
O próximo passo é encontrar o fator integrante 
 , que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante 
 :
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto 
 :
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a 
 :
O lado esquerdo simplifica para:
Para resolver a integral à direita, usamos integração por partes:
Seja  e 
 , então 
  e 
 .
Aplicando integração por partes:
Seja
Aplicando integração por partes:
Então, temos:
Passo 6
Agora, resolvemos para 
 :
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial 
  para achar a constante 
 :
Simplificando 
 :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando tudo por 
 :
Então, 
 .
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: