Nos Problemas 9-12, mostre que a integral dada é independente do caminho. Calcule de dois modos: (a) determine uma função \varphi de modo que d \varphi=P d x+Q d y, e(b) integre ao longo de qualquer caminho conveniente entre os pontos.
int_{(0,0)}^{(2,2)} x^{2} d x+y^{2} d y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a forma diferencial
P\,dx+Q\,dy = x^{2}\,dx + y^{2}\,dy
é independente do caminho no plano e, em seguida, calcular
\int_{(0,0)}^{(2,2)} x^{2}\,dx + y^{2}\,dy
de duas maneiras: (a) encontrando uma potencial \varphi tal que d\varphi = P\,dx+Q\,dy e (b) integrando ao longo de um caminho simples entre (0,0) e (2,2). O conteúdo envolvido é formas diferenciais exatas e campos conservativos.

Passo 2

Verificamos que a forma é exata num domínio simplesmente conectado como \mathbb{R}^{2}. Basta ver que
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\bigr)=0, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}\bigr)=0,
logo \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x e existe potencial \varphi(x,y).

Passo 3

Procuramos \varphi tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = x^{2}, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = y^{2}.
Integrando \partial \varphi/\partial x = x^{2} em x:
\varphi(x,y) = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + h(y).
Como \partial \varphi/\partial y = h'(y) deve ser igual a y^{2}, obtemos h'(y)=y^{2} e
h(y) = \int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3} + C.
Podemos tomar C=0, então
\varphi(x,y) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{y^{3}}{3}.

Passo 4

(a) Pelo teorema de campos conservativos,
\int_{(0,0)}^{(2,2)} x^{2}\,dx + y^{2}\,dy = \varphi(2,2) - \varphi(0,0) = \Bigl(\tfrac{2^{3}}{3} + \tfrac{2^{3}}{3}\Bigr) - 0 = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}.

Passo 5

(b) Escolhemos um caminho poligonal: primeiro de (0,0) a (2,0) mantendo y=0, depois de (2,0) a (2,2) mantendo x=2.
No trecho y=0:
\int_{0}^{2} x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} = \frac{8}{3}.
No trecho x=2:
\int_{0}^{2} y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} = \frac{8}{3}.
Somando os dois trechos dá novamente
\frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{3}

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