Nos Problemas 9-12, mostre que a integral dada é independente do caminho. Calcule de dois modos: (a) determine uma função \varphi de modo que d \varphi=P d x+Q d y, e(b) integre ao longo de qualquer caminho conveniente entre os pontos. int_{(0,0)}^{(2,2)} x^{2} d x+y^{2} d y
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a forma diferencial
P\,dx+Q\,dy = x^{2}\,dx + y^{2}\,dy
é independente do caminho no plano e, em seguida, calcular
\int_{(0,0)}^{(2,2)} x^{2}\,dx + y^{2}\,dy
de duas maneiras: (a) encontrando uma potencial \varphi tal que d\varphi = P\,dx+Q\,dy e (b) integrando ao longo de um caminho simples entre (0,0) e (2,2). O conteúdo envolvido é formas diferenciais exatas e campos conservativos.
Passo 2
Verificamos que a forma é exata num domínio simplesmente conectado como \mathbb{R}^{2}. Basta ver que