Nos Problemas 13-15, determine se o campo vetorial indicado é um campo gradiente. Se for, determine uma função potencial
para
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo (isto é, campo gradiente) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial tal que
. Vamos usar o critério das derivadas parciais iguais num domínio simplesmente conexo (aqui
).
é conservativo (isto é, campo gradiente) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
Passo 2
Definimos
O campo
é conservativo se e somente se
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, o campo é conservativo.
Passo 4
Para obter a potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função de
a determinar.
Passo 5
Derivando
em relação a
e igualando a
, temos
deve ser igual a
Logo,
Portanto,
Resposta
O campo
é um campo gradiente, com função potencial