São dadas as seguintes funções escalares e campos vetoriais.
Determine o gradiente das funções escalares. No caso dos campos vetoriais, proceda o cálculo do divergente e rotacional
\vec{J}(x, y, z)=y^{2} \hat{x}+\left(2 x y+z^{2}\right) \hat{y}+2 y z \hat{z}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{J}(x,y,z)=y^{2}\,\hat{x}+\left(2xy+z^{2}\right)\,\hat{y}+2yz\,\hat{z}
e pede que calculemos o divergente e o rotacional (curl) desse campo.
Informações relevantes que temos: as componentes do campo são
J_x(x,y,z)=y^{2},\qquad J_y(x,y,z)=2xy+z^{2},\qquad J_z(x,y,z)=2yz.
Não há outras funções escalares fornecidas, apenas este campo vetorial.

Passo 2

Vamos lembrar as definições (bem devagar, como na prova):
  • Divergente: para um campo \vec{F}=(F_x,F_y,F_z),
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
Isto significa: derivar cada componente em relação à sua variável (componente x em relação a x, componente y em relação a y, etc.) e somar.
  • Rotacional (curl): para um campo \vec{F},
\nabla\times\vec{F}=\begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z}\\[4pt] \displaystyle\frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\\[6pt] F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.
Isto gera três componentes:
(\nabla\times\vec{F})_x=\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},
(\nabla\times\vec{F})_y=\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},
(\nabla\times\vec{F})_z=\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}.
Explicando as derivadas parciais: ao calcular \partial F_x/\partial x você trata y e z como constantes e diferencia em relação a x, etc.]

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais necessárias, componente a componente. Vou mostrar cada uma para você poder replicar na prova sem erro.
Para J_x=y^{2}:
\frac{\partial J_x}{\partial x}=0\quad\text{(porque \(y^{2}\) não depende de \(x\))},ã
\frac{\partial J_x}{\partial y}=2y,
\frac{\partial J_x}{\partial z}=0.
Para J_y=2xy+z^{2}:
\frac{\partial J_y}{\partial x}=2y\quad\text{(derivada de \(2xy\) em \(x\) é \(2y\); \(z^{2}\) é constante em relação a \(x\))},ééçã
\frac{\partial J_y}{\partial y}=2x,
\frac{\partial J_y}{\partial z}=2z.
Para J_z=2yz:
\frac{\partial J_z}{\partial x}=0\quad\text{(não depende de \(x\))},ã
\frac{\partial J_z}{\partial y}=2z,
\frac{\partial J_z}{\partial z}=2y.

Passo 4

Agora o divergente: aplicando a fórmula
\nabla\cdot\vec{J}=\frac{\partial J_x}{\partial x}+\frac{\partial J_y}{\partial y}+\frac{\partial J_z}{\partial z},
substituindo as derivadas que calculamos:
\nabla\cdot\vec{J}=0 + 2x + 2y = 2x+2y.
Interpretação rápida: o divergente 2x+2y indica que a “taxa líquida de saída” por unidade de volume varia linearmente com x e y.

Passo 5

Agora o rotacional, usando as fórmulas componentes:
Componente x:
(\nabla\times\vec{J})_x=\frac{\partial J_z}{\partial y}-\frac{\partial J_y}{\partial z}=2z-2z=0.
Componente y:
(\nabla\times\vec{J})_y=\frac{\partial J_x}{\partial z}-\frac{\partial J_z}{\partial x}=0-0=0.
Componente z:
(\nabla\times\vec{J})_z=\frac{\partial J_y}{\partial x}-\frac{\partial J_x}{\partial y}=2y-2y=0.
Portanto
\nabla\times\vec{J}=\vec{0}.
Comentário didático: ver que o rotacional é \vec{0} significa que o campo é irrotacional (ou conservativo) no domínio onde as funções são bem comportadas. Em domínios simplesmente conexos isso implica que existe um potencial escalar \varphi tal que \vec{J}=\nabla\varphi. (Se quiser, posso mostrar como encontrar \varphi.)

Resposta

\nabla\cdot\vec{J}=2x+2y
\nabla\times\vec{J}=\vec{0}

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