Nos Problemas 13-15, determine se o campo vetorial indicado é um campo gradiente. Se for, determine uma função potencial \varphi para boldsymbol{F}.
boldsymbol{F}(x, y)=2 x y^{3} \boldsymbol{i}+3 y^{2}\left(x^{2}+1\right) \boldsymbol{j}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial \boldsymbol{F}(x,y) = 2x\,y^{3}\,\boldsymbol{i} + 3y^{2}(x^{2}+1)\,\boldsymbol{j}
é conservativo (isto é, campo gradiente) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla \varphi = \boldsymbol{F}. Vamos usar o critério das derivadas parciais iguais num domínio simplesmente conexo (aqui \mathbb{R}^{2}).

Passo 2

Definimos
P(x,y) = 2x\,y^{3}, \qquad Q(x,y) = 3y^{2}(x^{2}+1).
O campo \boldsymbol{F} é conservativo se e somente se
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\,y^{3}\bigr) = 2x \cdot 3y^{2} = 6x\,y^{2},
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3y^{2}(x^{2}+1)\bigr) = 3y^{2}\cdot 2x = 6x\,y^{2}.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x, o campo é conservativo.

Passo 4

Para obter a potencial \varphi(x,y), integramos P em relação a x:
\varphi(x,y) = \int 2x\,y^{3}\,dx = x^{2}y^{3} + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 5

Derivando \varphi em relação a y e igualando a Q, temos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{3} + h(y)\bigr) = 3x^{2}y^{2} + h'(y)
deve ser igual a
Q(x,y) = 3y^{2}(x^{2}+1) = 3x^{2}y^{2} + 3y^{2}.
Logo,
h'(y) = 3y^{2} \quad\Longrightarrow\quad h(y) = \int 3y^{2}\,dy = y^{3} + C.
Portanto,
\varphi(x,y) = x^{2}y^{3} + y^{3} + C = y^{3}(x^{2}+1) + C.

Resposta

O campo \boldsymbol{F} é um campo gradiente, com função potencial
\varphi(x,y) = y^{3}(x^{2}+1) + C.

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