Nos Problemas 13-15, determine se o campo vetorial indicado é um campo gradiente. Se for, determine uma função potencial
para
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
.
O conteúdo é campos conservativos (ou gradiente). Queremos (1) verificar se é conservativo e (2) encontrar uma função potencial
tal que
O conteúdo é campos conservativos (ou gradiente). Queremos (1) verificar se
Passo 2
Escrevemos as componentes
Como o domínio é todo
(aberto e simplesmente conexo), basta checar se
Calculamos
Como
, o campo é conservativo.
Passo 3
Para achar
, integramos
em relação a
:
Fazemos
, de modo que
e
. Assim
Passo 4
Derivamos essa expressão em
e igualamos a
:
Como isso deve ser igual a
, concluímos
. Logo
é constante.
Resposta
O campo
é gradiente e uma função potencial é