Nos Problemas 13-15, determine se o campo vetorial indicado é um campo gradiente. Se for, determine uma função potencial \varphi para boldsymbol{F}.
boldsymbol{F}(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}+1\right)^{-2}(x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j})

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \boldsymbol{F}(x,y) = (x^2 + y^2 + 1)^{-2}\bigl(x\,\boldsymbol{i} + y\,\boldsymbol{j}\bigr).
O conteúdo é campos conservativos (ou gradiente). Queremos (1) verificar se \boldsymbol{F} é conservativo e (2) encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\nabla \varphi = \boldsymbol{F}.

Passo 2

Escrevemos as componentes
P(x,y) = \frac{x}{(x^2+y^2+1)^2},\quad Q(x,y) = \frac{y}{(x^2+y^2+1)^2}.
Como o domínio é todo \mathbb{R}^2 (aberto e simplesmente conexo), basta checar se
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\; \frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} = x\cdot(-2)(x^2+y^2+1)^{-3}\cdot 2y = -4xy\,(x^2+y^2+1)^{-3},
\frac{\partial Q}{\partial x} = y\cdot(-2)(x^2+y^2+1)^{-3}\cdot 2x = -4xy\,(x^2+y^2+1)^{-3}.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x, o campo é conservativo.

Passo 3

Para achar \varphi, integramos P em relação a x:
\varphi(x,y) = \int \frac{x}{(x^2+y^2+1)^2}\,dx.
Fazemos u = x^2 + y^2 + 1, de modo que du = 2x\,dx e x\,dx = du/2. Assim
\varphi(x,y) = \int u^{-2}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du = -\frac{1}{2}\,u^{-1} + C(y) = -\frac{1}{2(x^2+y^2+1)} + C(y).

Passo 4

Derivamos essa expressão em y e igualamos a Q:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = -\frac{1}{2}\bigl(-1\bigr)(x^2+y^2+1)^{-2}\cdot 2y + C'(y) = \frac{y}{(x^2+y^2+1)^2} + C'(y).
Como isso deve ser igual a \displaystyle Q(x,y)=\frac{y}{(x^2+y^2+1)^2}, concluímos C'(y)=0. Logo C é constante.

Resposta

O campo \boldsymbol{F} é gradiente e uma função potencial é
\varphi(x,y) = -\frac{1}{2\bigl(x^2+y^2+1\bigr)} + \text{constante}.

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