Os Problemas de 8 a 13 envolvem equações da forma d y / d t=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoti-
camente estável, instável ou semiestável (veja o Problema 7). Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano t y.
10. d y / d t=y\left(1-y^{2}\right), \quad-\infty<y_{0}<\infty

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO autônoma
\frac{dy}{dt}=f(y)=y\bigl(1-y^{2}\bigr),
com condição inicial y(0)=y_{0}\in\mathbb{R}. Vamos usar o método da reta de fase: encontrar os pontos de equilíbrio, analisar o sinal de f(y) em cada intervalo, classificar a estabilidade e, por fim, esboçar as soluções y(t).

Passo 2

Para achar os equilíbrios resolvemos
f(y)=y(1-y^{2})=0
que dá as raízes
y=0,\quad y=1,\quad y=-1.

Passo 3

Analisamos o sinal de f(y)=y - y^{3} em cada intervalo:
  • Para y<-1: y<0 e 1-y^{2}<0; \Rightarrow f(y)>0.
  • Para -1<y<0: y<0 e 1-y^{2}>0; \Rightarrow f(y)<0.
  • Para 0<y<1: y>0 e 1-y^{2}>0; \Rightarrow f(y)>0.
  • Para y>1: y>0 e 1-y^{2}<0; \Rightarrow f(y)<0.
Isso corresponde a um gráfico cúbico que cruza o eixo em -1,0,1, subindo para +\infty à esquerda, descendo entre -1 e 0, subindo entre 0 e 1 e descendo para -\infty à direita.

Passo 4

Calculamos
f'(y)=\frac{d}{dy}\bigl(y - y^{3}\bigr)=1-3y^{2}.
Em cada equilíbrio:
  • Em y=-1: f'(-1)=1-3= -2<0; \Rightarrow assintoticamente estável.
  • Em y=0: f'(0)=1>0; \Rightarrow instável.
  • Em y=1: f'(1)=1-3= -2<0; \Rightarrow assintoticamente estável.
Não há pontos semiestáveis.

Passo 5

Reta de fase (em cada região um “→” para f(y)>0 e “←” para f(y)<0):
 y<−1     −1       0        1     y>1
  →   [−1]  ←   [0]  →   [1]  ←
Isso implica as soluções qualitativas no plano (t,y):
  • Se y_{0}<-1, y(t) cresce e tende a -1 quando t\to+\infty.
  • Se -1<y_{0}<0, y(t) decresce e tende a -1.
  • Se 0<y_{0}<1, y(t) cresce e tende a 1.
  • Se y_{0}>1, y(t) decresce e tende a 1.
  • Se y_{0} está exatamente em um equilíbrio ( -1,0,1), y(t) permanece constante.

Resposta

Pontos de equilíbrio e classificação:
y=-1 assintoticamente estável;
y=0 instável;
y=1 assintoticamente estável.
Reta de fase:
\dots \to (-1)\leftarrow 0\to 1\leftarrow \dots
Comportamento das soluções:
  • y_{0}<-1;→; y(t) aumenta para -1.
  • -1<y_{0}<0;→; y(t) decresce para -1.
  • 0<y_{0}<1;→; y(t) cresce para 1.
  • y_{0}>1;→; y(t) decresce para 1.
  • Para y_{0}=-1,0,1, y(t) é constante.

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