Os Problemas de 8 a 13 envolvem equações da forma
. Em cada problema, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoti-
camente estável, instável ou semiestável (veja o Problema 7). Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano
.
10.
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camente estável, instável ou semiestável (veja o Problema 7). Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano
10.
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO autônoma
com condição inicial
. Vamos usar o método da reta de fase: encontrar os pontos de equilíbrio, analisar o sinal de
em cada intervalo, classificar a estabilidade e, por fim, esboçar as soluções
.
Passo 2
Para achar os equilíbrios resolvemos
que dá as raízes
Passo 3
Analisamos o sinal de
em cada intervalo:
- Para
: e ; . - Para
: e ; . - Para
: e ; . - Para
: e ; .
Isso corresponde a um gráfico cúbico que cruza o eixo em
, subindo para
à esquerda, descendo entre
e
, subindo entre
e
e descendo para
à direita.
Passo 4
Calculamos
Em cada equilíbrio:
- Em
: ; assintoticamente estável. - Em
: ; instável. - Em
: ; assintoticamente estável.
Não há pontos semiestáveis.
Passo 5
Reta de fase (em cada região um “→” para
e “←” para
):
y<−1 −1 0 1 y>1
→ [−1] ← [0] → [1] ←
Isso implica as soluções qualitativas no plano
:
- Se
, cresce e tende a quando . - Se
, decresce e tende a . - Se
, cresce e tende a . - Se
, decresce e tende a . - Se
está exatamente em um equilíbrio ( ), permanece constante.
Resposta
Pontos de equilíbrio e classificação:
assintoticamente estável;
instável;
assintoticamente estável.
Reta de fase:
Comportamento das soluções:
-
;→; aumenta para . -
;→; decresce para . -
;→; cresce para . -
;→; decresce para . - Para
, é constante.