Os Problemas de 1 a 6 envolvem equações da forma d y / d t=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano t.
  1. d y / d t=a y+b y^{2}, \quad a>0, \quad b>0, \quad y_{0} \geq 0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma
\frac{dy}{dt}=a\,y + b\,y^{2},
com a>0, b>0 e condições iniciais y_{0}\ge0.
Conteúdo: identificação de pontos críticos (equilíbrios), análise de estabilidade por meio de f'(y), construção da reta de fase e esboço qualitativo das curvas solução y(t).

Passo 2

Definimos
f(y)=a\,y + b\,y^{2} = y\,(a + b\,y).
Os pontos críticos são as raízes de f(y)=0, ou seja
y=0 \quad\text{e}\quad a + b\,y=0\;\Longrightarrow\;y=-\frac{a}{b}.

Passo 3

Para classificar a estabilidade, calculamos
f'(y)=\frac{d}{dy}\bigl[a\,y + b\,y^{2}\bigr] = a + 2\,b\,y.
Em y=0 temos f'(0)=a>0, logo y=0 é ponto de equilíbrio instável (repulsor).
Em y=-\tfrac{a}{b} temos
f'\bigl(-\tfrac{a}{b}\bigr) = a + 2\,b\bigl(-\tfrac{a}{b}\bigr) = a - 2\,a = -\,a <0,
logo y=-\tfrac{a}{b} é assintoticamente estável (atrator).

Passo 4

Reta de fase em função de y:
– Para y<-\tfrac{a}{b}: a+b\,y<0 e y<0 \Rightarrow f(y)>0. As setas apontam para a direita (crescimento).
– Para -\tfrac{a}{b}<y<0: a+b\,y>0 e y<0 \Rightarrow f(y)<0. As setas apontam para a esquerda (decrescimento).
– Para y>0: a+b\,y>0 e y>0 \Rightarrow f(y)>0. As setas apontam para a direita.
Equilíbrios:
\underbrace{\;\bullet\;}_{y=-\tfrac{a}{b}\,(\text{estável})} \longleftrightarrow \underbrace{\;\bullet\;}_{y=0\,(\text{instável})} \longrightarrow \quad \text{eixo }y.áá

Passo 5

Esboço qualitativo de soluções y(t):
  • Se a condição inicial y_{0}>0, então f(y)>0 para todo y>0, portanto y(t) cresce monotonamente e tende a +\infty em tempo finito (explosão de solução).
  • Se y_{0}=0, mantém-se em y(t)\equiv0 (equilíbrio instável).
  • Para interesse deste problema, com y_{0}\ge0, só há evolução para +\infty ou repouso em 0.

Resposta

Pontos de equilíbrio:
y=-\frac{a}{b}\;(\text{estável}),\quad y=0\;(\text{instável}).áá
Para y_{0}>0, y(t) cresce e explode em tempo finito. Para y_{0}=0, y(t)\equiv0.

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