Os Problemas de 1 a 6 envolvem equações da forma d y / d t=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano t.
d y / d t=a y+b y^{2}, \quad a>0, \quad b>0, \quad y_{0} \geq 0
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial autônoma
\frac{dy}{dt}=a\,y + b\,y^{2},
com a>0, b>0 e condições iniciais y_{0}\ge0.
Conteúdo: identificação de pontos críticos (equilíbrios), análise de estabilidade por meio de f'(y), construção da reta de fase e esboço qualitativo das curvas solução y(t).
Passo 2
Definimos
f(y)=a\,y + b\,y^{2} = y\,(a + b\,y).
Os pontos críticos são as raízes de f(y)=0, ou seja
y=0 \quad\text{e}\quad a + b\,y=0\;\Longrightarrow\;y=-\frac{a}{b}.
Passo 3
Para classificar a estabilidade, calculamos
f'(y)=\frac{d}{dy}\bigl[a\,y + b\,y^{2}\bigr] = a + 2\,b\,y.
Em y=0 temos f'(0)=a>0, logo y=0 é ponto de equilíbrio instável (repulsor).
Em y=-\tfrac{a}{b} temos
f'\bigl(-\tfrac{a}{b}\bigr) = a + 2\,b\bigl(-\tfrac{a}{b}\bigr) = a - 2\,a = -\,a <0,
logo y=-\tfrac{a}{b} é assintoticamente estável (atrator).
Passo 4
Reta de fase em função de y:
– Para y<-\tfrac{a}{b}: a+b\,y<0 e y<0 \Rightarrow f(y)>0. As setas apontam para a direita (crescimento).
– Para -\tfrac{a}{b}<y<0: a+b\,y>0 e y<0 \Rightarrow f(y)<0. As setas apontam para a esquerda (decrescimento).
– Para y>0: a+b\,y>0 e y>0 \Rightarrow f(y)>0. As setas apontam para a direita.