Os Problemas de 8 a 13 envolvem equações da forma d y / d t=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoti-
camente estável, instável ou semiestável (veja o Problema 7). Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano t y.
8. d y / d t=-k(y-1)^{2}, \quad k>0, \quad-\infty<y_{0}<\infty

Passo 1

O enunciado dá a EDO autônoma
\frac{dy}{dt} = -\,k\,(y-1)^{2},\quad k>0,
que depende só de y. Vamos interpretar graficamente a função f(y)=-k(y-1)^2, achar os pontos de equilíbrio (onde f(y)=0) e estudar sua estabilidade pelo sinal de f à direita e à esquerda.

Passo 2

O gráfico de
f(y)=-k\,(y-1)^{2}
é uma “parábola” voltada para baixo com vértice em (1,0). Em particular:
– Em y=1 tem f(1)=0.
– Para todo y\neq1, (y-1)^{2}>0 e portanto f(y)<0.

Passo 3

Os pontos críticos (equilíbrios) satisfazem
f(y)=0\;\Longrightarrow\;y-1=0\;\Longrightarrow\;y=1.
Não há outro equilíbrio. A derivada
f'(y) = -k\cdot2\,(y-1)
em y=1 é f'(1)=0, logo a linearização não basta e precisamos olhar o sinal de f em cada lado.

Passo 4

Como f(y)<0 para todo y\neq1, concluímos:
– Se y>1, então \frac{dy}{dt}<0, ou seja, y decresce em direção a 1.
– Se y<1, também \frac{dy}{dt}<0, ou seja, y decresce afastando-se de 1 (vai para -\infty, em tempo finito).
Logo em y=1 as setas na reta de fase apontam para baixo de ambos os lados, mas uma delas leva “para” o equilíbrio (se y>1) e a outra “para longe” (se y<1). Isso caracteriza um ponto de equilíbrio semiestável.

Passo 5

Esboço qualitativo das soluções y(t) no plano (t,y):
  • Para y(0)=y_{0}>1, y(t) decresce monotonamente e tende assintoticamente a 1 quando t\to+\infty.
  • Para y(0)=y_{0}<1, y(t) decresce monotonicamente e explode para -\infty em tempo finito (pode-se ver na solução explícita \displaystyle y(t)=1+\frac{1}{\,k\,t+\tfrac1{y_{0}-1}\!}).

Resposta

O único ponto de equilíbrio é y=1,
e ele é semiestável (assintoticamente estável pela direita e instável pela esquerda).

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