Os Problemas de 8 a 13 envolvem equações da forma
. Em cada problema, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como sendo assintoti-
camente estável, instável ou semiestável (veja o Problema 7). Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano
.
8.
camente estável, instável ou semiestável (veja o Problema 7). Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano
8.
Passo 1
O enunciado dá a EDO autônoma
que depende só de
. Vamos interpretar graficamente a função
, achar os pontos de equilíbrio (onde
) e estudar sua estabilidade pelo sinal de
à direita e à esquerda.
Passo 2
O gráfico de
é uma “parábola” voltada para baixo com vértice em
. Em particular:
– Em tem
.
– Para todo ,
e portanto
.
– Em
– Para todo
Passo 3
Os pontos críticos (equilíbrios) satisfazem
Não há outro equilíbrio. A derivada
em
é
, logo a linearização não basta e precisamos olhar o sinal de
em cada lado.
Passo 4
Como
para todo
, concluímos:
– Se , então
, ou seja,
decresce em direção a
.
– Se , também
, ou seja,
decresce afastando-se de
(vai para
, em tempo finito).
Logo em as setas na reta de fase apontam para baixo de ambos os lados, mas uma delas leva “para” o equilíbrio (se
) e a outra “para longe” (se
). Isso caracteriza um ponto de equilíbrio semiestável.
– Se
– Se
Logo em
Passo 5
Esboço qualitativo das soluções
no plano
:
- Para
, decresce monotonamente e tende assintoticamente a quando . - Para
, decresce monotonicamente e explode para em tempo finito (pode-se ver na solução explícita ).
Resposta
O único ponto de equilíbrio é
e ele é semiestável (assintoticamente estável pela direita e instável pela esquerda).
e ele é semiestável (assintoticamente estável pela direita e instável pela esquerda).