Nos Problemas 15-26, ache a solução geral do sistema dado.
d xd t=x+y
d yd t=-2 x-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações diferenciais onde as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação ao tempo $ t $ são dadas por:
x
y
O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar a solução geral desses sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor e aplicar técnicas mais facilmente. Nosso sistema fica assim:
ddt x y = 1 & 1 -2 & -1 x y
Aqui, a matriz à direita representa os coeficientes das equações.

Passo 3

Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os valores próprios (ou autovalores) da matriz de coeficientes. Esses valores nos ajudam a determinar o comportamento das soluções. A gente faz isso resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde $ A $ é a matriz dos coeficientes e $ I $ é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos calcular o determinante:
det 1 - lambda & 1 -2 & -1 - lambda = (1 - lambda)(-1 - lambda) - (-2)(1)
Simplificando:
(1 - lambda)(-1 - lambda) + 2 = lambda^2 + 1 = 0
Resolvendo a equação $ \lambda^2 + 1 = 0 $, encontramos os valores próprios:
lambda^2 + 1 = 0

Passo 5

Com esses valores próprios, podemos escrever a solução geral do sistema. Como os autovalores são complexos puros ($ \pm i $), a solução envolverá funções trigonométricas (cosseno e seno). Então, a solução geral será:
pm i
x(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)
y(t) = -C1 sin(t) + C2 cos(t)

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