Nos Problemas 15-26, ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações diferenciais onde as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação ao tempo $ t $ são dadas por:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar a solução geral desses sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema em forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor e aplicar técnicas mais facilmente. Nosso sistema fica assim:
Aqui, a matriz à direita representa os coeficientes das equações.
Passo 3
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os valores próprios (ou autovalores) da matriz de coeficientes. Esses valores nos ajudam a determinar o comportamento das soluções. A gente faz isso resolvendo a equação característica:
Onde $ A $ é a matriz dos coeficientes e $ I $ é a matriz identidade.
Passo 4
Vamos calcular o determinante:
Simplificando:
Resolvendo a equação $ \lambda^2 + 1 = 0 $, encontramos os valores próprios:
Passo 5
Com esses valores próprios, podemos escrever a solução geral do sistema. Como os autovalores são complexos puros ($ \pm i $), a solução envolverá funções trigonométricas (cosseno e seno). Então, a solução geral será:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é: