INSTRUÇÕES: Escolha apenas uma questão dentre a 1 e a 2. As questões 3 e 4 são obrigatórias.
- Questão 1 Dada a curva
, faça o que se pede.
(a) Encontre uma equação da tangente à curva no ponto
.
(a) Encontre uma equação da tangente à curva no ponto
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma curva definida por $ x = t^{2} + 1 $ e $ y = t^{2} + t $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve curvas paramétricas e cálculo de tangentes a essas curvas. Nosso objetivo é encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a $ t = -1 $.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar as coordenadas do ponto na curva quando $ t = -1 $. Para isso, substituímos $ t = -1 $ nas equações paramétricas de $ x $ e $ y $:
Então, o ponto de tangência é $ (2, 0) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, calculamos as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $. A derivada de $ x $ em relação a $ t $ é:
E a derivada de $ y $ em relação a $ t $ é:
Passo 4
A inclinação da reta tangente, representada por $ \frac{dy}{dx} $, é obtida dividindo $ \frac{dy}{dt} $ por $ \frac{dx}{dt} $:
Substituindo $ t = -1 $:
Então, a inclinação da tangente é $ \frac{1}{2} $.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente $ m = \frac{1}{2} $ e o ponto de tangência $ (2, 0) $, podemos usar a fórmula da equação da reta que passa por um ponto com uma determinada inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação da tangente à curva no ponto $ t = -1 $ é $ y = \frac{1}{2}x - 1 $.