INSTRUÇÕES: Escolha apenas uma questão dentre a 1 e a 2. As questões 3 e 4 são obrigatórias.
  • Questão 1 Dada a curva x=t^2+1, y=t^2+t, faça o que se pede.
    (b) Quais valores de t a curva tem tangente horizontal?

Passo 1

Beleza, vamos resolver a Questão 1, parte (b). A gente tem uma curva definida pelas equações paramétricas $ x = t^{2} + 1 $ e $ y = t^{2} + t $. O que a gente precisa descobrir aqui é para quais valores de $ t $ a tangente à curva é horizontal. Isso envolve um pouquinho de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a inclinação da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a inclinação da tangente à curva em um ponto qualquer é dada pela derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $. Como temos as equações paramétricas em termos de $ t $, a gente precisa usar a regra da cadeia para calcular essa derivada.

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dx}{dt} $ separadamente.
  • Derivando $ y = t^{2} + t $ em relação a $ t $:
    $ \frac{dy}{dt} = 2t + 1 $
  • Derivando $ x = t^{2} + 1 $ em relação a $ t $:
    $ \frac{dx}{dt} = 2t $

Passo 4

Agora, a gente usa essas derivadas para encontrar $ \frac{dy}{dx} $. A fórmula é:
dydx

Passo 5

Queremos que a tangente seja horizontal. Isso significa que a inclinação $ \frac{dy}{dx} $ deve ser igual a zero. Então, colocamos:
dydx

Passo 6

Para que essa fração seja zero, o numerador precisa ser zero (e o denominador não pode ser zero). Então, resolvemos:
2t + 1 = 0 Rightarrow t = -12

Resposta

A curva tem tangente horizontal quando $ t = -\frac{1}{2} $.

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