Nos problemas 17-26, resolva o problema de valor inicial.
d yd x=x^2(1+y), y(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dydx=x^2(1+y), y(0)=3. Isso é uma equação de primeira ordem que é separável, ou seja, podemos isolar y e x em lados diferentes da equação.

Passo 2

Para separar as variáveis, dividimos ambos os lados por 1+y e multiplicamos por dx, ficando
dy1+y = x^2 ,dx
A ideia aqui é deixar todas as ocorrências de y com dy e de x com dx, para poder integrar cada lado em relação à sua variável.

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral dy1+y = integral x^2 ,dx
Do lado esquerdo usamos que integral duu = ln|u| com u=1+y, e do lado direito integral x^2 ,dx = x^33. Então temos
ln|1+y| = x^33 + C .

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=3. Quando x=0, a equação vira
ln|1+3| = C implies C = ln 4
Assim a solução com a constante fica ln|1+y| = x^33 + ln 4.

Passo 5

Por fim, exponenciamos ambos os lados para isolar y:
|1+y| = e^x^33 + ln4 = 4 ,e^x^33
Como 1+y é positivo (pela condição inicial), descartamos o sinal negativo. Então
1+y = 4 ,e^x^33 implies y(x) = 4 ,e^x^33 - 1

Resposta

y(x) = 4 ,e^x^33 - 1

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