Verifique se a seguinte equação diferencial é de coeficientes homogêneos e resolva a que for:
y^prime=(x^4+3 x^2 y^2+y^4) / x^3 y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a EDO
y'=x^4+3x^2y^2+y^4x^3y
é de coeficientes homogêneos e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo envolvido é equação diferencial homogênea e usaremos a substituição y=vx.

Passo 2

Para checar homogeneidade, note que o numerador x^4+3x^2y^2+y^4 é homogêneo de grau 4 e o denominador x^3y também é de grau 4. Logo a razão é homogênea de grau zero.

Passo 3

Fazendo y=vx temos
y'=v+xdvdx

Passo 4

Substituindo na EDO,
v + xdvdx = x^4+3x^2(vx)^2+(vx)^4x^3(vx) = 1+3v^2+v^4v

Passo 5

Isolando dv/dx:
xdvdx = 1+3v^2+v^4v-v = 1+2v^2+v^4v = (1+v^2)^2v

Passo 6

Separamos variáveis:
v(1+v^2)^2,dv = dxx

Passo 7

Integramos. Com w=1+v^2 e dw=2v,dv,
integralv(1+v^2)^2dv = 12integral w^-2dw = -12(1+v^2)
Logo
-12(1+v^2) = ln|x| + C

Passo 8

Voltando a v=y/x e rearranjando,
11+(y/x)^2 + 2ln|x| = C',
o que equivale a
x^2x^2+y^2 + 2ln|x| = C'

Resposta

x^2x^2+y^2 + 2ln|x| = C

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