Calcule o limite se existir
ac n=ln nn^1 / k, k in N

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa aqui. Temos que calcular o limite da sequência $ a_{cn} = \frac{\ln n}{n^{1/k}} $, onde $ k $ é um número natural. Vamos usar conhecimentos de limites e comportamento assintótico de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para ficar mais fácil de analisar. Sabemos que $ n^{1/k} $ é o mesmo que a raiz k-ésima de n, ou $ \sqrt[k]{n} $. Então, nossa sequência fica:
n^1/k

Passo 3

Agora, precisamos entender como essas duas funções se comportam conforme $ n $ cresce. O logaritmo natural, $ \ln n $, cresce, mas de forma bem mais lenta comparado a funções polinomiais ou exponenciais. Por outro lado, $ n^{1/k} $ cresce mais rapidamente, já que é uma potência de $ n $.

Passo 4

Para calcular o limite, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é usada quando temos uma forma indeterminada como $ \frac{\infty}{\infty} $. Vamos verificar o limite:
inftyinfty

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
ddn(ln n) = 1n
ddn(n^1/k) = 1k n^(1/k) - 1
Então, o limite fica:
limn to infty 1n1k n^(1/k) - 1 = limn to infty kn cdot n^1 - 1/k = k cdot limn to infty n^-1/k

Passo 6

Sabemos que $ n^{-1/k} $ tende a 0 quando $ n $ tende ao infinito, porque estamos dividindo 1 por uma potência crescente de $ n $. Portanto:
n^-1/k

Resposta

O limite de $ a_{cn} = \frac{\ln n}{n^{1/k}} $ quando $ n $ tende a infinito é $ 0 $.

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