Calcule o limite se existir
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente precisa aqui. Temos que calcular o limite da sequência $ a_{cn} = \frac{\ln n}{n^{1/k}} $, onde $ k $ é um número natural. Vamos usar conhecimentos de limites e comportamento assintótico de funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para ficar mais fácil de analisar. Sabemos que $ n^{1/k} $ é o mesmo que a raiz k-ésima de n, ou $ \sqrt[k]{n} $. Então, nossa sequência fica:
Passo 3
Agora, precisamos entender como essas duas funções se comportam conforme $ n $ cresce. O logaritmo natural, $ \ln n $, cresce, mas de forma bem mais lenta comparado a funções polinomiais ou exponenciais. Por outro lado, $ n^{1/k} $ cresce mais rapidamente, já que é uma potência de $ n $.
Passo 4
Para calcular o limite, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é usada quando temos uma forma indeterminada como $ \frac{\infty}{\infty} $. Vamos verificar o limite:
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Então, o limite fica:
Passo 6
Sabemos que $ n^{-1/k} $ tende a 0 quando $ n $ tende ao infinito, porque estamos dividindo 1 por uma potência crescente de $ n $. Portanto:
Resposta
O limite de $ a_{cn} = \frac{\ln n}{n^{1/k}} $ quando $ n $ tende a infinito é $ 0 $.