Nos problemas 20 e 21, use o teorema de Green para calcular a integral de linha dada.
oint_{c} 2 y d x+5 x d y, onde C é o círculo (x-1)^{2}+(y+3)^{2}=25

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{C}2y\,dx + 5x\,dy
onde C é o círculo (x-1)^{2}+(y+3)^{2}=25. O conteúdo é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada e orientada positivamente (sentido anti-horário) com uma integral dupla sobre a região interna a essa curva.

Passo 2

Pela fórmula do Teorema de Green, se P(x,y)=2y e Q(x,y)=5x, então
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA
onde D é o disco (x-1)^{2}+(y+3)^{2}\le25.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(5x) = 5, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2y) = 2.
Logo, o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = 5-2 = 3.

Passo 4

Como o integrando é constante, a integral dupla se reduz a
\iint_{D}3\,dA = 3\cdot\text{Área}(D).Á
O disco de raio 5 tem área \pi\cdot5^{2}=25\pi.

Passo 5

Portanto
\oint_{C}2y\,dx+5x\,dy = 3\cdot25\pi = 75\pi.

Resposta

75\pi

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