Nos problemas ( 5-8), calcule int_{C} y d x+z d y+x d z na curva fechada C indicada entre ( 0,0,0 ) e (6, 8, 5).
x=2 t, y=t^{3}, z=\frac{5}{4} t^{2}, 0 \leq t \leq 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} y\,dx \;+\; z\,dy \;+\; x\,dz
ao longo de uma curva C que deveria ser “fechada” e que liga (0,0,0) a (6,8,5). Para isso, nos dão uma parametrização
x=2t,\quad y=t^{3},\quad z=\frac{5}{4}\,t^{2},\quad 0\le t\le2.
O conteúdo a aplicar seria: (1) verificar consistência da parametrização com os pontos finais; (2) calcular dx,dy,dz; (3) substituir na integral e integrar em t.

Passo 2

Verificamos a imagem da parametrização nos extremos de t:
  • Em t=0, (x,y,z)=(0,0,0), ok.
  • Em t=2, (x,y,z)=(2\cdot 2,\;2^{3},\;(5/4)\,2^{2})=(4,8,5).
Porém o enunciado afirma que o ponto final é (6,8,5). Há uma incompatibilidade: a curva parametra de (0,0,0) a (4,8,5), não a (6,8,5). Além disso, diz ser curva “fechada”, mas os pontos inicial e final são distintos.

Passo 3

Sem ajustar a parametrização para que termine em (6,8,5) ou sem esclarecer se a curva fecha ou não, não há como prosseguir com a resolução.

Resposta

Não é possível resolver porque a parametrização dada não leva ao ponto final indicado e não há esclarecimento sobre o trecho restante nem sobre o fechamento da curva.

Exercícios relacionados