Nos problemas ( 5-8), calcule int_{C} y d x+z d y+x d z na curva fechada C indicada entre ( 0,0,0 ) e (6, 8, 5).
C é construída pelos segmentos de reta de (0,0,0) a (2,3,4) e de (2,3,4) a (6,8,5).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha da forma diferencial
\int_{C} y\,dx + z\,dy + x\,dz
sobre a curva C formada pelos dois segmentos de reta de O=(0,0,0) a A=(2,3,4) e de A a B=(6,8,5). O método é parametrizar cada segmento, substituir na forma diferencial e integrar de 0 a 1.

Passo 2

Parametrização do segmento de O a A:
\mathbf r_1(t) = (2t,\,3t,\,4t),\quad t\in[0,1].
Então
x=2t,\quad y=3t,\quad z=4t,
dx=2\,dt,\quad dy=3\,dt,\quad dz=4\,dt.
Substituindo em y\,dx + z\,dy + x\,dz
(3t)(2\,dt) + (4t)(3\,dt) + (2t)(4\,dt) = (6t +12t +8t)\,dt =26t\,dt.
Logo
\int_{C_1}y\,dx+z\,dy+x\,dz = \int_{0}^{1}26t\,dt = 13.

Passo 3

Parametrização do segmento de A a B:
\mathbf r_2(s) = \bigl(2+4s,\;3+5s,\;4+s\bigr),\quad s\in[0,1].
Assim
x=2+4s,\;y=3+5s,\;z=4+s,
dx=4\,ds,\;dy=5\,ds,\;dz=1\,ds.
Substituindo obtém-se
y\,dx+z\,dy+x\,dz = (3+5s)\cdot4 + (4+s)\cdot5 + (2+4s)\cdot1 =34 +29s.
Portanto
\int_{C_2}y\,dx+z\,dy+x\,dz = \int_{0}^{1}(34+29s)\,ds =34 + \tfrac{29}{2} =48{,}5.

Passo 4

Somando as contribuições de C_1 e C_2:
\int_{C}y\,dx+z\,dy+x\,dz = 13 + 48{,}5 = 61{,}5 = \tfrac{123}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{123}{2}

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