Nos Problemas 21-24, use a integraçāo por partes (13) para calcular a integral dada. Escreva as respostas ne form a+ib.
integral0^i barz sen z d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos integral0^i z cdot sin z , dz usando a técnica de integração por partes. Aqui, estamos lidando com números complexos, então precisaremos entender um pouco sobre integrais no plano complexo e como aplicar a integração por partes nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula básica é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Para aplicar essa fórmula, precisamos identificar as partes u e dv na nossa integral.

Passo 3

Vamos escolher:
u = z e dv = sin z , dz
Agora, precisamos calcular du e v.

Passo 4

Calculando du:
Como u = z, a derivada de z em relação a z é zero, porque z é considerado uma constante em relação a z na análise complexa. Portanto:
du = 0
Calculando v:
v = integral dv = integral sin z , dz = -cos z

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral0^i z cdot sin z , dz = [ u cdot v ]0^i - integral0^i v , du
Substituindo u, v e du:
= [ z cdot (-cos z) ]0^i - integral0^i (-cos z) cdot 0 , dz
= -[ z cdot cos z ]0^i - 0

Passo 6

Agora, vamos calcular [ z cdot cos z ]0^i:
Primeiro, para z = i:
i = -i e cos i = cosh 1 = e + e^-12
Então:
i cdot cos i = -i cdot e + e^-12 = -i cdot e^1 + e^-12
Para z = 0:
0 = 0 e cos 0 = 1
Então:
0 cdot cos 0 = 0
Portanto:
[ z cdot cos z ]0^i = -i cdot e + e^-12 - 0 = -i cdot e + e^-12

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
-[ z cdot cos z ]0^i = -( -i cdot e + e^-12 ) = i cdot e + e^-12

Passo 8

Simplificando, temos:
i cdot e + e^-12 = e + e^-12 cdot i

Passo 9

Portanto, a integral integral0^i z cdot sin z , dz é igual a:
e + e^-12 cdot i

Resposta

integral0^i z cdot sin z , dz = 0 + ( e + e^-12 )i

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