Nos Problemas 21-24, use a integraçāo por partes (13) para calcular a integral dada. Escreva as respostas ne form
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos
usando a técnica de integração por partes. Aqui, estamos lidando com números complexos, então precisaremos entender um pouco sobre integrais no plano complexo e como aplicar a integração por partes nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula básica é:
Para aplicar essa fórmula, precisamos identificar as partes
e
na nossa integral.
Passo 3
Vamos escolher:
Agora, precisamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando
:
Como
, a derivada de
em relação a
é zero, porque
é considerado uma constante em relação a
na análise complexa. Portanto:
Calculando
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Primeiro, para
:
Então:
Para
:
Então:
Portanto:
Passo 7
Voltando à expressão anterior:
Passo 8
Simplificando, temos:
Passo 9
Portanto, a integral
é igual a: