(1 ponto) Seja f(x)=cos (2 x)k. Encontre o valor de k para que f^prime prime prime(pi4)=2.
a) 4
b) 7
c) 8
d) 2
e) 10 .

Passo 1

Beleza, a gente tem a função $ f(x) = \frac{\cos(2x)}{k} $. A missão aqui é encontrar o valor de $ k $ que faz com que a terceira derivada dessa função em $ x = \frac{\pi}{4} $ seja igual a 2. Para isso, vamos usar o que a gente sabe sobre derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de $ f(x) $. Sabemos que a derivada de $ \cos(2x) $ é $ -2\sin(2x) $ (a gente aplica a regra da cadeia aqui, multiplicando pela derivada interna, que é 2). Então:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos para a segunda derivada. A derivada de $ \sin(2x) $ é $ 2\cos(2x) $. Aplicando isso:
sin(2x)

Passo 4

Seguimos para a terceira derivada. A derivada de $ \cos(2x) $ é $ -2\sin(2x) $. Então:
cos(2x)

Passo 5

Agora, vamos substituir $ x = \frac{\pi}{4} $ na terceira derivada:
x = pi4

Passo 6

A questão diz que isso deve ser igual a 2. Então, temos a equação:
8k = 2
Resolvendo para $ k $:
k

Resposta

a) 4

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