(1 ponto) Seja
. Encontre o valor de
para que
.
a) 4
b) 7
c) 8
d) 2
e) 10 .
a) 4
b) 7
c) 8
d) 2
e) 10 .
Passo 1
Beleza, a gente tem a função $ f(x) = \frac{\cos(2x)}{k} $. A missão aqui é encontrar o valor de $ k $ que faz com que a terceira derivada dessa função em $ x = \frac{\pi}{4} $ seja igual a 2. Para isso, vamos usar o que a gente sabe sobre derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de $ f(x) $. Sabemos que a derivada de $ \cos(2x) $ é $ -2\sin(2x) $ (a gente aplica a regra da cadeia aqui, multiplicando pela derivada interna, que é 2). Então:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda derivada. A derivada de $ \sin(2x) $ é $ 2\cos(2x) $. Aplicando isso:
Passo 4
Seguimos para a terceira derivada. A derivada de $ \cos(2x) $ é $ -2\sin(2x) $. Então:
Passo 5
Agora, vamos substituir $ x = \frac{\pi}{4} $ na terceira derivada:
Passo 6
A questão diz que isso deve ser igual a 2. Então, temos a equação:
Resolvendo para $ k $:
Resposta
a) 4