(1,5 ponto) Considere
como a variável independente e y como a variável dependente e use a derivação implícita para encontrar a inclinação
da reta tangente no ponto
determinado pela curva
. Determine o valor de:
.
a) 11
b) 15
c) 16
d) 17
e) 12 .
a) 11
b) 15
c) 16
d) 17
e) 12 .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação que relaciona $ x $ e $ y $, sendo $ x $ a variável independente e $ y $ a variável dependente. A equação dada é:
Nosso objetivo é usar a derivação implícita para encontrar a inclinação $ m $ da reta tangente à curva nesse ponto específico, que é $ (1, 3) $. Depois, precisamos calcular o valor absoluto de $ m $ multiplicado por 4, ou seja, $ |m \cdot 4| $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é derivação implícita. Quando temos uma equação que relaciona $ x $ e $ y $ de forma que não está resolvida para $ y $, usamos a derivação implícita para encontrar $ \frac{dy}{dx} $, que representa a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto.
Passo 3
Vamos aplicar a derivação implícita na equação dada:
Derivando ambos os lados em relação a $ x $:
Passo 4
Vamos derivar cada termo separadamente:
- Para $ \frac{d}{dx}(x^{4} y^{2}) $:
Usamos a regra do produto:
- Para $ \frac{d}{dx}(2x^{4} y) $:
Também usamos a regra do produto:
- A derivada de $ 3 $ em relação a $ x $ é $ 0 $.
Passo 5
Substituindo as derivadas de volta na equação:
Simplificando a equação:
Passo 6
Agora, agrupamos os termos que contêm $ \frac{dy}{dx} $:
Isolando $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Passo 8
Agora, substituímos o ponto $ (1, 3) $ na expressão para encontrar $ \frac{dy}{dx} $:
Assim, a inclinação $ m $ da reta tangente no ponto $ (1, 3) $ é $ -\frac{3}{2} $.
Passo 9
Agora, calculamos $ |m \cdot 4| $:
Resposta
Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao valor encontrado. No entanto, seguindo os cálculos, o valor de $ |m \cdot 4| $ é 6.