(1,5 ponto) Considere x como a variável independente e y como a variável dependente e use a derivação implícita para encontrar a inclinação m da reta tangente no ponto (1,3) determinado pela curva x^4 y^2-2 x^4 y=3. Determine o valor de: |m cdot 4|.
a) 11
b) 15
c) 16
d) 17
e) 12 .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação que relaciona $ x $ e $ y $, sendo $ x $ a variável independente e $ y $ a variável dependente. A equação dada é:
x
Nosso objetivo é usar a derivação implícita para encontrar a inclinação $ m $ da reta tangente à curva nesse ponto específico, que é $ (1, 3) $. Depois, precisamos calcular o valor absoluto de $ m $ multiplicado por 4, ou seja, $ |m \cdot 4| $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é derivação implícita. Quando temos uma equação que relaciona $ x $ e $ y $ de forma que não está resolvida para $ y $, usamos a derivação implícita para encontrar $ \frac{dy}{dx} $, que representa a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto.

Passo 3

Vamos aplicar a derivação implícita na equação dada:
x^4 y^2 - 2x^4 y = 3
Derivando ambos os lados em relação a $ x $:
x

Passo 4

Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Para $ \frac{d}{dx}(x^{4} y^{2}) $:
Usamos a regra do produto:
ddx(x^4 y^2)
  1. Para $ \frac{d}{dx}(2x^{4} y) $:
Também usamos a regra do produto:
ddx(x^4 y^2) = 4x^3 y^2 + x^4 cdot 2y cdot dydx
  1. A derivada de $ 3 $ em relação a $ x $ é $ 0 $.

Passo 5

Substituindo as derivadas de volta na equação:
4x^3 y^2 + 2x^4 y cdot dydx - (8x^3 y + 2x^4 cdot dydx) = 0
Simplificando a equação:
4x^3 y^2 + 2x^4 y cdot dydx - 8x^3 y - 2x^4 cdot dydx = 0

Passo 6

Agora, agrupamos os termos que contêm $ \frac{dy}{dx} $:
dydx
Isolando $ \frac{dy}{dx} $:
(2x^4 y - 2x^4) cdot dydx + 4x^3 y^2 - 8x^3 y = 0

Passo 7

Simplificando a expressão:
dydx = 4x^3 y (2 - y)2x^4 (y - 1) = 2 cdot 4x^3 y (2 - y)2 cdot 2x^4 (y - 1) = 4x^3 y (2 - y)4x^4 (y - 1) = y (2 - y)x (y - 1)

Passo 8

Agora, substituímos o ponto $ (1, 3) $ na expressão para encontrar $ \frac{dy}{dx} $:
(1, 3)
Assim, a inclinação $ m $ da reta tangente no ponto $ (1, 3) $ é $ -\frac{3}{2} $.

Passo 9

Agora, calculamos $ |m \cdot 4| $:
|m cdot 4|

Resposta

Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao valor encontrado. No entanto, seguindo os cálculos, o valor de $ |m \cdot 4| $ é 6.

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