Nos problemas 21-27, resolva o problema de valor inicial dado.
,
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado pelos dados abaixo. As perguntas e os dados fornecidos são:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais:
e .
Passo 2
Vamos buscar soluções da equação diferencial homogênea usando a técnica padrão para coeficientes constantes: tentar uma solução da forma
. A razão é que derivadas de
são múltiplos de
, o que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para
. Substituindo
em
obtemos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, reconhece-se um quadrado perfeito:
logo a raiz é
com multiplicidade
.
Passo 4
Quando a equação característica tem uma raiz real
de multiplicidade
, a forma geral das soluções da equação diferencial é
Isto acontece porque, além de
, a segunda solução independente é
quando a raiz é repetida — é uma consequência da teoria de soluções de equações lineares com coeficientes constantes. Substituindo
obtemos a solução geral
Passo 5
Precisamos aplicar as condições iniciais para determinar
e
. Primeiro calculemos a derivada
. Usamos a regra do produto: se
então
Como
e
, obtemos
Passo 6
Aplicando a primeira condição inicial
. Substituindo
na expressão de
:
Portanto
Passo 7
Agora aplicamos
. Substituindo
na expressão de
:
Usando
e
, obtemos
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Passo 9
Se quiser uma checagem rápida: calcular
para a solução encontrada e verificar que
(a verificação é direta usando derivação e cancelamentos), e também que
e
— já verificadas nos passos anteriores. Tudo confere.