Nos problemas 21-27, resolva o problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0 ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado pelos dados abaixo. As perguntas e os dados fornecidos são:
  • Equação diferencial: y''-2y'+y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=-2.

Passo 2

Vamos buscar soluções da equação diferencial homogênea usando a técnica padrão para coeficientes constantes: tentar uma solução da forma y=e^{rx}. A razão é que derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx}, o que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para r. Substituindo y=e^{rx} em y''-2y'+y=0 obtemos a equação característica:
r^{2}-2r+1=0.

Passo 3

Resolvendo a equação característica \,r^{2}-2r+1=0, reconhece-se um quadrado perfeito:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0,
logo a raiz é r=1 com multiplicidade 2.

Passo 4

Quando a equação característica tem uma raiz real r de multiplicidade 2, a forma geral das soluções da equação diferencial é
y=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx}.
Isto acontece porque, além de e^{rx}, a segunda solução independente é x e^{rx} quando a raiz é repetida — é uma consequência da teoria de soluções de equações lineares com coeficientes constantes. Substituindo r=1 obtemos a solução geral
y=(C_{1}+C_{2}x)e^{x}.

Passo 5

Precisamos aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}. Primeiro calculemos a derivada y'. Usamos a regra do produto: se y=(C_{1}+C_{2}x)e^{x} então
y' = \frac{d}{dx}\big(C_{1}+C_{2}x\big)\cdot e^{x} + (C_{1}+C_{2}x)\cdot \frac{d}{dx}e^{x}.
Como \dfrac{d}{dx}(C_{1}+C_{2}x)=C_{2} e \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, obtemos
y'=\big(C_{2}\big)e^{x} + (C_{1}+C_{2}x)e^{x} = \big(C_{1}+C_{2}+C_{2}x\big)e^{x}.

Passo 6

Aplicando a primeira condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 na expressão de y:
y(0)=(C_{1}+C_{2}\cdot 0)e^{0}=C_{1}\cdot 1 = C_{1}.
Portanto
C_{1}=1.

Passo 7

Agora aplicamos y'(0)=-2. Substituindo x=0 na expressão de y':
y'(0)=\big(C_{1}+C_{2}+C_{2}\cdot 0\big)e^{0}=C_{1}+C_{2}.
Usando C_{1}=1 e y'(0)=-2, obtemos
1 + C_{2} = -2 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=-3.

Passo 8

Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=-3 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y=(1-3x)e^{x}.

Passo 9

Se quiser uma checagem rápida: calcular y' para a solução encontrada e verificar que y''-2y'+y=0 (a verificação é direta usando derivação e cancelamentos), e também que y(0)=1 e y'(0)=-2 — já verificadas nos passos anteriores. Tudo confere.

Resposta

y=(1-3x)e^{x}

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