Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
16 y d x=(y e^y-2 x) d y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y,dx = l(y,e^y - 2xr),dy
usando separação de variáveis (ou manipulação que leve a variáveis separáveis). O conteúdo aqui envolve reconhecer diferenciais exatos após uma multiplicação adequada e integrar cada lado.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por y para agrupar termos convenientemente:
y^2,dx = l(y^2 e^y - 2x,yr),dy
e trazemos o termo com x para o lado esquerdo:
y^2,dx + 2x,y,dy = y^2 e^y,dy

Passo 3

Reparando que
dl(x,y^2r) = y^2,dx + 2x,y,dy,
a equação fica
dl(x,y^2r) = y^2 e^y,dy,
e agora temos as variáveis “separadas” no sentido de que o lado esquerdo é um diferencial exato de x,y^2 e o direito depende só de y.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a y:
integral dl(x,y^2r) = integral y^2 e^y,dy
o que dá
x,y^2 = integral y^2 e^y,dy + C

Passo 5

Calculamos a integral por partes em integral y^2 e^y,dy. Sejam
u = y^2, dv = e^ydy Longrightarrow du = 2y,dy, v = e^y
Então
integral y^2 e^ydy = y^2 e^y - integral 2y e^ydy = y^2 e^y - 2l(y e^y - integral e^ydyr) = l(y^2 - 2y + 2r)e^y

Passo 6

Substituindo de volta em x,y^2 = integral y^2 e^ydy + C, obtemos
x,y^2 = l(y^2 - 2y + 2r)e^y + C
Dividindo por y^2, chegamos à forma explícita:

Resposta

x = l(y^2 - 2y + 2r)e^y + Cy^2,
onde C é a constante de integração.

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