Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
usando separação de variáveis (ou manipulação que leve a variáveis separáveis). O conteúdo aqui envolve reconhecer diferenciais exatos após uma multiplicação adequada e integrar cada lado.
Passo 2
Multiplicamos ambos os lados por
para agrupar termos convenientemente:
e trazemos o termo com
para o lado esquerdo:
Passo 3
Reparando que
a equação fica
e agora temos as variáveis “separadas” no sentido de que o lado esquerdo é um diferencial exato de
e o direito depende só de
.
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
o que dá
Passo 5
Calculamos a integral por partes em
. Sejam
Então
Passo 6
Substituindo de volta em
, obtemos
Dividindo por
, chegamos à forma explícita:
Resposta
onde
é a constante de integração.