Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
17 cos x d yd x+(sen x) y=1

Passo 1

A equação dada é cos x,dydx + sin x,y = 1. Trata-se de uma equação linear de 1ª ordem em y(x), então vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por cos x para obter a forma padrão:
dydx + tan x,y = sec x

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = e^integral tan x,dx = e^-ln|cos x| = sec x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=sec x e obtemos
sec x,dydx + sec xtan x,y = sec^2 x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de ysec x.

Passo 5

Logo, podemos reescrever como
ddxl(ysec xr) = sec^2 x
Integrando ambos os lados:
ysec x = integral sec^2 x,dx = tan x + C

Passo 6

Por fim, isolamos y:
y = cos x, (tan x + C) = sin x + Ccos x

Resposta

y = \sin x + C\cos x

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