Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
15 y d x-4(x+y^6) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y,dx - 4l(x + y^6r),dy = 0
usando separação de variáveis (ou, como veremos, o método de equação linear em x como função de y).

Passo 2

Reescrevendo em forma explícita de derivada, dividimos por dy e depois por y:
y,dxdy - 4x - 4y^6 = 0 Longrightarrow dxdy - 4y,x = 4y^5
Aqui identificamos uma equação linear em x(y) com
P(y) = -4y, Q(y) = 4y^5

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(y) = expl(integral P(y),dyr) = expl(integral -tfrac4y,dyr) = exp(-4ln y) = y^-4

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(y):
y^-4dxdy - 4y^-5x = 4y^5,y^-4 = 4y
O lado esquerdo é a derivada do produto ddy(y^-4x). Assim,
ddyl(y^-4xr) = 4y
Integramos em y:
y^-4x = integral 4y,dy = 2y^2 + C

Passo 5

Isolando x, obtemos
x = y^4,(2y^2 + C) = 2y^6 + C,y^4

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
boxedx = 2y^6 + C,y^4

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