Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
y^{\prime \prime}+y=\operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''+y=\operatorname{tg} x
pelo método da variação dos parâmetros e definir um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Informações dadas e observações iniciais:
  • É uma equação linear de segunda ordem, não homogênea.
  • O termo não homogêneo é \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, que não está definido quando \cos x=0.
  • A solução geral terá a parte homogênea (duas constantes arbitrárias) mais uma solução particular obtida por variação dos parâmetros.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada
y''+y=0.
As soluções fundamentais conhecidas são
y_1(x)=\cos x,\qquad y_2(x)=\sin x.
Estas duas funções são linearmente independentes. Calcula-se o Wronskiano W para elas:
W(y_1,y_2)= \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\[4pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\[4pt] -\sin x & \cos x \end{vmatrix} =\cos^2 x+\sin^2 x=1.
Comentário curto sobre o Wronskiano: ele mede a independência linear das soluções; aqui W\equiv1\neq0, portanto y_1,y_2 formam uma base de soluções da homogênea.]

Passo 3

Apresentar a ideia da variação dos parâmetros (passo-a-passo didático).
  • Procuramos uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)\,y_1(x)+u_2(x)\,y_2(x)=u_1(x)\cos x+u_2(x)\sin x,
onde u_1\) e \(u_2\) são funções a determinar (em vez de constantes). - Impomos a condição auxiliar \[u_1'(x)\cos x+u_2'(x)\sin x=0
para simplificar as expressões (essa é uma escolha padrão: elimina termos de primeira derivada indesejados no cálculo).
  • Derivando y_p e usando a condição auxiliar obtemos para a segunda derivada que o sistema a satisfazer é (quando a equação é y''+y=g(x)):
\begin{cases} u_1'(x)\cos x+u_2'(x)\sin x=0,\\[4pt] -u_1'(x)\sin x+u_2'(x)\cos x=g(x). \end{cases}
Aqui g(x)=\operatorname{tg} x\]. Esse é um sistema linear de duas equações para \(u_1' e u_2'. Como W=1, as fórmulas por Cramer dão, diretamente,
u_1'(x)=-g(x)\,y_2(x),\qquad u_2'(x)=g(x)\,y_1(x).
(Em geral, para y''+q(x)y=g(x) com y_1,y_2 e Wronskiano W, tem-se u_1'=-g\,y_2/W e u_2'=g\,y_1/W. Aqui W=1.)]

Passo 4

Aplicar as fórmulas ao nosso caso g(x)=\operatorname{tg} x, y_1=\cos x, y_2=\sin x:
u_1'(x)=-\operatorname{tg} x\cdot \sin x,\qquad u_2'(x)=\operatorname{tg} x\cdot \cos x.
Simplificar cada derivada:
  • Para u_2':
u_2'(x)=\operatorname{tg} x\cdot\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x=\sin x.
  • Para u_1':
u_1'(x)=-\operatorname{tg} x\cdot\sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}\sin x=-\frac{\sin^2 x}{\cos x}.
Usando \sin^2 x=1-\cos^2 x escrevemos
u_1'(x)=-\frac{1-\cos^2 x}{\cos x}=-\operatorname{sec} x+\cos x.
Portanto
u_1'(x)=\cos x-\operatorname{sec} x,\qquad u_2'(x)=\sin x.

Passo 5

Integrar para obter u_1 e u_2. Lembrete: as constantes de integração podem ser tomadas 0 aqui porque constantes multiplicadas por y_1,y_2 retornariam à parte homogênea; elas são absorvidas pelas constantes da solução geral.
  • Integração de u_2':
u_2(x)=\int \sin x\,dx=-\cos x \quad(\text{constante escolhida }0).
  • Integração de u_1':
u_1(x)=\int(\cos x-\operatorname{sec} x)\,dx=\int\cos x\,dx-\int\operatorname{sec} x\,dx.
Conhecimentos úteis (pequena aula):
  • \displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x + C.
  • A integral da secante é uma primitiva clássica: \displaystyle\int\operatorname{sec} x\,dx=\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|+C. Uma maneira rápida de memorizar é multiplicar numerador e denominador por \operatorname{sec} x+\tan x e fazer substituição; é padrão em tabelas de integrais.
    Logo
u_1(x)=\sin x-\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| \quad(\text{constante escolhida }0).

Passo 6

Montar a solução particular:
y_p(x)=u_1(x)\cos x+u_2(x)\sin x.
Substituindo u_1 e u_2:
y_p(x)=\bigl(\sin x-\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|\bigr)\cos x+(-\cos x)\sin x.
Observe que \sin x\cos x aparece com sinais opostos e cancela:
y_p(x)=-\cos x\;\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|.
Portanto a solução geral da equação não homogênea é
y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x-\cos x\;\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|.

Passo 7

Determinar o intervalo de validade. Regras e justificativa:
  • A equação original envolve \operatorname{tg} x, então é preciso excluir pontos onde \cos x=0 (a tangente tem assíntotas nesses pontos).
  • A primitiva \ln|\operatorname{sec} x+\tan x| exige \operatorname{sec} x+\tan x\neq0. Note que
\operatorname{sec} x+\tan x=\frac{1+\sin x}{\cos x}.
Sempre que \cos x\neq0 a expressão \operatorname{sec} x+\tan x está bem definida (o caso \sin x=-1 coincide com \cos x=0, logo já excluído). Assim a condição essencial é \cos x\neq0.
Conclusão sobre intervalo: a solução geral é válida em qualquer intervalo aberto que não contenha pontos onde \cos x=0, por exemplo em
\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr)
ou, de forma geral, em qualquer intervalo
\bigl(-\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\;\tfrac{\pi}{2}+k\pi\bigr),\qquad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x-\cos x\;\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|
Intervalo de validade (exemplo): \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) (de modo geral \bigl(-\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\tfrac{\pi}{2}+k\pi\bigr),\\ k\in\mathbb{Z}).

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