Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida. y^{\prime \prime}+y=\operatorname{tg} x
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''+y=\operatorname{tg} x
pelo método da variação dos parâmetros e definir um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Informações dadas e observações iniciais:
É uma equação linear de segunda ordem, não homogênea.
O termo não homogêneo é \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, que não está definido quando \cos x=0.
A solução geral terá a parte homogênea (duas constantes arbitrárias) mais uma solução particular obtida por variação dos parâmetros.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada
y''+y=0.
As soluções fundamentais conhecidas são
y_1(x)=\cos x,\qquad y_2(x)=\sin x.
Estas duas funções são linearmente independentes. Calcula-se o Wronskiano W para elas:
W(y_1,y_2)= \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\[4pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\[4pt] -\sin x & \cos x \end{vmatrix} =\cos^2 x+\sin^2 x=1.
Comentário curto sobre o Wronskiano: ele mede a independência linear das soluções; aqui W\equiv1\neq0, portanto y_1,y_2 formam uma base de soluções da homogênea.]
Passo 3
Apresentar a ideia da variação dos parâmetros (passo-a-passo didático).
Integrar para obter u_1 e u_2. Lembrete: as constantes de integração podem ser tomadas 0 aqui porque constantes multiplicadas por y_1,y_2 retornariam à parte homogênea; elas são absorvidas pelas constantes da solução geral.
Integração de u_2':
u_2(x)=\int \sin x\,dx=-\cos x \quad(\text{constante escolhida }0).
A integral da secante é uma primitiva clássica: \displaystyle\int\operatorname{sec} x\,dx=\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|+C. Uma maneira rápida de memorizar é multiplicar numerador e denominador por \operatorname{sec} x+\tan x e fazer substituição; é padrão em tabelas de integrais.
Logo
Sempre que \cos x\neq0 a expressão \operatorname{sec} x+\tan x está bem definida (o caso \sin x=-1 coincide com \cos x=0, logo já excluído). Assim a condição essencial é \cos x\neq0.
Conclusão sobre intervalo: a solução geral é válida em qualquer intervalo aberto que não contenha pontos onde \cos x=0, por exemplo em
Intervalo de validade (exemplo): \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) (de modo geral \bigl(-\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\tfrac{\pi}{2}+k\pi\bigr),\\ k\in\mathbb{Z}).