Exercício 21 Suponha f(x, y) contínua em \mathbb{R}^{2}. Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
\int_{0}^{1}\left[\int_{1}^{e^{y}} f(x, y) d x\right] d y+\int_{1}^{e}\left[\int_{y}^{e} f(x, y) d x\right] d y
esboce a região de integração e calcule a área da região de integração.

Passo 1

O enunciado dá duas integrais iteradas e pede que eu inverta a ordem de integração e escreva a soma como uma única integral iterada. Também pede um esboço da região de integração e o cálculo da área dessa região.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • Primeira integral: \displaystyle \int_{0}^{1}\left[\int_{1}^{e^{y}} f(x,y)\,dx\right]dy.
    • Aqui y varia de 0 a 1.
    • Para cada y nesse intervalo, x varia de 1 até e^{y}.
  • Segunda integral: \displaystyle \int_{1}^{e}\left[\int_{y}^{e} f(x,y)\,dx\right]dy.
    • Aqui y varia de 1 a e.
    • Para cada y nesse intervalo, x varia de y até e.
O que o enunciado pede:
  1. Inverter a ordem de integração e escrever a soma das duas integrais como uma única integral iterada (integrando primeiro em y e depois em x, ou seja, ordem dy\,dx).
  2. Esboçar (descrever) a região de integração no plano (x,y).
  3. Calcular a área dessa região.

Passo 2

Entender as duas sub-regiões correspondentes às integrais e escrever suas desigualdades (isso ajuda a unir as duas e depois inverter ordem).
Para a primeira integral, a região R_1 é
R_1=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\;1\le x\le e^{y}\}.
A curva limite superior em x é x=e^{y}. Invertendo essa equação dá y=\ln x.
Para a segunda integral, a região R_2 é
R_2=\{(x,y)\mid 1\le y\le e,\;y\le x\le e\}.
Aqui a fronteira inferior em x é a reta x=y (ou, equivalentemente, y=x vista como limite superior em y).
Vamos entender geometricamente cada região:
  • R_1: para y entre 0 e 1, x vai de 1 até e^{y}. No plano, é a região à direita da linha vertical x=1, à esquerda da curva x=e^{y} (ou abaixo da curva y=\ln x quando invertida), com y entre 0 e 1.
  • R_2: para y entre 1 e e, x vai de y até e. No plano, é a região à esquerda da vertical x=e, à direita da reta x=y, com y entre 1 e e.

Passo 3

Determinar a região total R=R_1\cup R_2 e encontrar os limites em termos de x (para inverter a ordem).
Observações importantes:
  • Em R_1, a desigualdade x\le e^{y} é equivalente a y\ge \ln x.
  • Em R_1 temos também 0\le y\le 1. Combinando y\ge \ln x e y\le 1 \ln x\le y\le 1. E como x\ge1 e \ln x\le1 implica x\le e, então em R_1 obtemos 1\le x\le e e \ln x\le y\le 1.
  • Em R_2, por escrita direta, para cada x entre 1 e e (já que x vai de y até e e y\ge1), o y varia de 1 até x (porque y\le x e y\ge1). Assim em R_2 obtemos 1\le x\le e e 1\le y\le x.
Agora unindo R_1 e R_2 para um mesmo x em [1,e]:
  • Em R_1 há pontos com \ln x\le y\le 1.
  • Em R_2 há pontos com 1\le y\le x.
    A união dá, para cada x\in[1,e], todos os y tais que
\ln x \le y \le x.
Portanto a região total pode ser descrita como
R=\{(x,y)\mid 1\le x\le e,\; \ln x \le y \le x\}.
Explicação rápida do porquê x vai de 1 a e:
  • Nas duas sub-regiões x está sempre entre 1 e e (em R_1, x\le e^{y}\le e^{1}=e; em R_2, por construção, x\le e e x\ge y\ge1). Logo o intervalo total para x é [1,e].

Passo 4

Escrever a soma das integrais como uma única integral com ordem invertida (integrar primeiro em y, depois em x).
Com a descrição obtida de R, a soma das integrais é igual a
\int_{x=1}^{e}\left[\int_{y=\ln x}^{y=x} f(x,y)\,dy\right]dx.
Aqui ficou claro: primeiro integrar em y com y indo de \ln x até x, depois integrar em x de 1 até e.

Passo 5

Esboço da região e pontos-chave para desenhar (descrição para você riscar no papel):
Como desenhar:
  • Marcar no plano os pontos de interesse:
    • A=(1,0) (porque \ln 1=0),
    • B=(1,1) (interseção da reta y=x com x=1),
    • C=(e,1) (porque \ln e=1),
    • D=(e,e) (ponto sobre a reta y=x quando x=e).
  • Desenhar a curva y=\ln x (passa por A e C, cresce lentamente).
  • Desenhar a reta y=x (passa por B e D).
  • A região R é a “faixa” vertical entre x=1 e x=e, limitada abaixo por y=\ln x e acima por y=x. Ela vai de y=\ln x (em baixo) até y=x (em cima), para cada x entre 1 e e.
Pontos de interseção importantes:
  • As curvas y=\ln x e y=x não se intersectam no intervalo x\in[1,e] a não ser possivelmente fora; aqui y=\ln x está sempre abaixo de y=x para x\ge1, então a região está bem definida.

Passo 6

Calcular a área da região R. A área é
\text{Área}=\int_{x=1}^{e}\bigl(x-\ln x\bigr)\,dx.Á
Calcular cada termo separadamente:
  • \displaystyle \int x\,dx=\frac{1}{2}x^{2}+C.
  • Para \displaystyle \int \ln x\,dx usa-se integração por partes (ou lembrar a primitiva): tomando u=\ln x, dv=dx então du=\frac{1}{x}dx, v=x. Assim
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C.
Portanto
\text{Área}=\Bigl[\frac{1}{2}x^{2} - \bigl(x\ln x - x\bigr)\Bigr]_{1}^{e}.Á
Avaliação nos extremos:
  • Em x=e:
\frac{1}{2}e^{2} - \bigl(e\ln e - e\bigr)=\frac{1}{2}e^{2} - (e\cdot 1 - e)=\frac{1}{2}e^{2} - 0=\frac{1}{2}e^{2}.
  • Em x=1:
\frac{1}{2}\cdot 1^{2} - \bigl(1\ln 1 - 1\bigr)=\frac{1}{2} - (0 - 1)=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}.
Subtraindo:
\text{Área}=\frac{1}{2}e^{2} - \frac{3}{2}=\frac{e^{2}-3}{2}.Á

Resposta

\displaystyle \int_{1}^{e}\left[\int_{\ln x}^{x} f(x,y)\,dy\right]dx
\displaystyle \frac{e^{2}-3}{2}

Exercícios relacionados