Exercício 21 Suponha
contínua em
. Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
esboce a região de integração e calcule a área da região de integração.
Passo 1
O enunciado dá duas integrais iteradas e pede que eu inverta a ordem de integração e escreva a soma como uma única integral iterada. Também pede um esboço da região de integração e o cálculo da área dessa região.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
- Primeira integral:
. - Aqui
varia de a . - Para cada
nesse intervalo, varia de até .
- Aqui
- Segunda integral:
. - Aqui
varia de a . - Para cada
nesse intervalo, varia de até .
- Aqui
O que o enunciado pede:
- Inverter a ordem de integração e escrever a soma das duas integrais como uma única integral iterada (integrando primeiro em
e depois em , ou seja, ordem ). - Esboçar (descrever) a região de integração no plano
. - Calcular a área dessa região.
Passo 2
Entender as duas sub-regiões correspondentes às integrais e escrever suas desigualdades (isso ajuda a unir as duas e depois inverter ordem).
Para a primeira integral, a região
é
A curva limite superior em
é
. Invertendo essa equação dá
.
Para a segunda integral, a região
é
Aqui a fronteira inferior em
é a reta
(ou, equivalentemente,
vista como limite superior em
).
Vamos entender geometricamente cada região:
-
: para entre e , vai de até . No plano, é a região à direita da linha vertical , à esquerda da curva (ou abaixo da curva quando invertida), com entre e . -
: para entre e , vai de até . No plano, é a região à esquerda da vertical , à direita da reta , com entre e .
Passo 3
Determinar a região total
e encontrar os limites em termos de
(para inverter a ordem).
Observações importantes:
- Em
, a desigualdade é equivalente a . - Em
temos também . Combinando e dá . E como e implica , então em obtemos e . - Em
, por escrita direta, para cada entre e (já que vai de até e ), o varia de até (porque e ). Assim em obtemos e .
Agora unindo
e
para um mesmo
em
:
- Em
há pontos com . - Em
há pontos com .
A união dá, para cada, todos os tais que
Portanto a região total pode ser descrita como
Explicação rápida do porquê
vai de
a
:
- Nas duas sub-regiões
está sempre entre e (em , ; em , por construção, e ). Logo o intervalo total para é .
Passo 4
Escrever a soma das integrais como uma única integral com ordem invertida (integrar primeiro em
, depois em
).
Com a descrição obtida de
, a soma das integrais é igual a
Aqui ficou claro: primeiro integrar em
com
indo de
até
, depois integrar em
de
até
.
Passo 5
Esboço da região e pontos-chave para desenhar (descrição para você riscar no papel):
Como desenhar:
- Marcar no plano os pontos de interesse:
-
(porque ), -
(interseção da reta com ), -
(porque ), -
(ponto sobre a reta quando ).
-
- Desenhar a curva
(passa por e , cresce lentamente). - Desenhar a reta
(passa por e ). - A região
é a “faixa” vertical entre e , limitada abaixo por e acima por . Ela vai de (em baixo) até (em cima), para cada entre e .
Pontos de interseção importantes:
- As curvas
e não se intersectam no intervalo a não ser possivelmente fora; aqui está sempre abaixo de para , então a região está bem definida.
Passo 6
Calcular a área da região
. A área é
Calcular cada termo separadamente:
-
. - Para
usa-se integração por partes (ou lembrar a primitiva): tomando , então , . Assim
Portanto
Avaliação nos extremos:
- Em
:
- Em
:
Subtraindo: