Exercício 22 Suponha f(x, y) contínua em \mathbb{R}^{2}. Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
\int_{-1}^{0}\left[\int_{1-\sqrt{1+y}}^{1+\sqrt{1+y}} f(x, y) d x\right] d y+\int_{0}^{3}\left[\int_{\frac{y^{2}}{3}}^{1+\sqrt{1+y}} f(x, y) d x\right] d y
esboce a região de integração e calcule a área da região de integração.

Passo 1

O enunciado nos dá a soma de duas integrais duplas (com y externo e x interno) envolvendo uma função contínua f(x,y):
\int_{-1}^{0}\left[\int_{1-\sqrt{1+y}}^{1+\sqrt{1+y}} f(x, y)\, d x\right] d y +\int_{0}^{3}\left[\int_{\frac{y^{2}}{3}}^{1+\sqrt{1+y}} f(x, y)\, d x\right] d y.
O que o enunciado pede:
  • Inverter a ordem de integração e escrever a soma como uma única integral iterada (ou seja, obter uma integral com x externo e y interno).
  • Esboçar (mentalmente ou no papel) a região de integração usada por essas integrais.
  • Calcular a área da região de integração.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Primeira integral: valores de y em [-1,0]; para cada y nessa faixa, x varia entre x=1-\sqrt{1+y} e x=1+\sqrt{1+y}.
  • Segunda integral: valores de y em [0,3]; para cada y nessa faixa, x varia entre x=\dfrac{y^{2}}{3} e x=1+\sqrt{1+y}.
  • A função f(x,y) é contínua (importante para trocar ordem de integração sem problemas de convergência).
  • As curvas que aparecem como limites são
    • x=1\pm\sqrt{1+y} (duas ramificações, esquerda e direita),
    • x=\dfrac{y^{2}}{3}.

Passo 2

Vou descrever geometricamente a região R integrada pela soma das duas integrais: R é a união de duas “tiras” em níveis de y:
  • Para y\in[-1,0] temos os pontos (x,y) com 1-\sqrt{1+y}\le x \le 1+\sqrt{1+y}.
  • Para y\in[0,3] temos os pontos (x,y) com \frac{y^{2}}{3}\le x \le 1+\sqrt{1+y}.
Portanto R é a união dessas duas parcelas, contínua em y porque em y=0 ambas as barreiras dão x\in[0,2].
Agora identifiquemos as curvas em escrita y=g(x) (útil para inverter ordem):
  • Das equações x=1\pm\sqrt{1+y} isolamos y. Tomando x=1\pm\sqrt{1+y} e resolvendo: \sqrt{1+y} = |x-1|\quad\Rightarrow\quad 1+y=(x-1)^{2}\quad\Rightarrow\quad y=(x-1)^{2}-1.Então ambas as ramificações representam a mesma parábola vertical em forma de função y=(x-1)^{2}-1. Essa parábola tem vértice em (1,-1) e abre para cima.
  • Da equação x=\dfrac{y^{2}}{3} isolamos y: y^{2}=3x\quad\Rightarrow\quad y=\pm\sqrt{3x}.Porém, na segunda integral y varia em [0,3], logo só interessa a ramificação superior y=\sqrt{3x} (pois nessa parte y\ge0).
Resumo das curvas úteis:
  • Curva A (parábola com vértice em (1,-1)): \;y=(x-1)^{2}-1.
  • Curva B (parábola que abre para cima a partir do eixo x): \;y=\sqrt{3x} (somente y\ge0 nos interessa).

Passo 3

Determinar o intervalo em x que cobre toda a região R (para decidir os limites externos após inverter a ordem).
Analise dos extremos em x:
  • Na parte com y\in[-1,0]: quando y=-1 temos \sqrt{1+y}=0 e então x\in[1,1] (ponto (1,-1)). Quando y=0 temos \sqrt{1+y}=1 e então x\in[0,2]. Logo nessa parte x varia entre 1 (mínimo local) e 2 (máximo), mas ao longo de y chega a x=0 quando y=0.
  • Na parte com y\in[0,3]: o menor x possível é quando y=0 e x=\dfrac{0^{2}}{3}=0; o maior x ocorre quando y=3 no limite direito x=1+\sqrt{1+3}=1+2=3.
    Assim, o intervalo global de x que abrange R é
0\le x\le 3.

Passo 4

Para um x fixo em [0,3], determinar os valores de y que pertencem a R. Vamos escrever as desigualdades que definem R de forma equivalente em função de x.
  • Condição vinda da faixa y\in[-1,0] e dos limites x=1\pm\sqrt{1+y}:
    x está entre 1-\sqrt{1+y} e 1+\sqrt{1+y} se, e somente se,
    |x-1|\le \sqrt{1+y}\quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)^{2}\le 1+y
    que é equivalente a
    y \ge (x-1)^{2}-1.
    Lembrando que essa parte original só cobria y\le 0; portanto, para o trecho que vem da primeira integral, os y admissíveis para um x fixo são
    (x-1)^{2}-1 \le y \le 0,
    sempre que haja interseção (isto ocorre para x com |x-1|\le 1, ou seja x\in[0,2]).
  • Condição vinda da faixa y\in[0,3] e dos limites x=\dfrac{y^{2}}{3} e x=1+\sqrt{1+y}:
    Para y\in[0,3] requeremos simultaneamente
    \frac{y^{2}}{3}\le x \le 1+\sqrt{1+y}.
    Para um x fixo, a desigualdade \frac{y^{2}}{3}\le x é equivalente a 0\le y\le \sqrt{3x} (lembrando que consideramos apenas y\ge0). A desigualdade x\le 1+\sqrt{1+y} é equivalente, como antes, a y\ge (x-1)^{2}-1. Portanto, dos pontos da segunda faixa, para um x dado os y admissíveis são os y que satisfazem simultaneamente
    0 \le y \le \sqrt{3x}\quad\text{e}\quad y \ge (x-1)^{2}-1.
    Isso é, para a segunda faixa os y vão de \max\{0,(x-1)^{2}-1\} até \sqrt{3x}, quando essa faixa existe.
Juntando as duas parcelas (primeira com y\le 0 e segunda com y\ge 0), percebemos que para qualquer x\in[0,3] os pontos y do conjunto R estão exatamente entre a mesma função inferior
y_{\text{inf}}(x)=(x-1)^{2}-1
e a função superior
y_{\text{sup}}(x)=\sqrt{3x}.
Observações que justificam isso:
  • Para x\in[0,2] a primeira parcela fornece y\in[(x-1)^{2}-1,0] e a segunda parcela fornece y\in[0,\sqrt{3x}], então a união é [(x-1)^{2}-1,\sqrt{3x}].
  • Para x\in(2,3] a primeira parcela não existe (pois |x-1|>1), mas a desigualdade y\ge (x-1)^{2}-1 continua valendo para limitar inferiormente os y admissíveis da segunda parcela; assim a segunda parcela sozinha fornece y\in[(x-1)^{2}-1,\sqrt{3x}].
  • Nos extremos x=0 e x=3 tem-se y_{\text{inf}}(0)=0=y_{\text{sup}}(0) e y_{\text{inf}}(3)=3=y_{\text{sup}}(3), então a fórmula é consistente nos extremos.
Portanto a descrição vertical (invertida) da região R é
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 3,\\ (x-1)^{2}-1 \le y \le \sqrt{3x}\}.

Passo 5

Escrever a soma original como uma única integral iterada com x externo e y interno (isto é, invertendo a ordem):
\boxed{\;\int_{0}^{3}\left[\int_{(x-1)^{2}-1}^{\sqrt{3x}} f(x,y)\, dy\right] dx\; }.
Isto representa a mesma integral dupla sobre R, pois para cada x\in[0,3] integramos y desde a parábola y=(x-1)^{2}-1 até a curva y=\sqrt{3x}.

Passo 6

Calcular a área da região R. A área é a integral dupla de 1 sobre R, logo usando a integral invertida que achamos:
\text{Área}(R)=\iint_{R} 1\, dA =\int_{0}^{3}\left[\int_{(x-1)^{2}-1}^{\sqrt{3x}} 1\, dy\right] dx =\int_{0}^{3}\Big(\sqrt{3x}-\big((x-1)^{2}-1\big)\Big)\, dx.Á
Simplifiquemos o integrando:
\sqrt{3x}-\big((x-1)^{2}-1\big)=\sqrt{3x}-\big(x^{2}-2x+1\big)+1 =\sqrt{3x}-x^{2}+2x.
Portanto
\text{Área}(R)=\int_{0}^{3}\big(\sqrt{3x}-x^{2}+2x\big)\, dx.Á
Calcule cada termo separadamente:
  1. Para a parte com raiz:
\int_{0}^{3}\sqrt{3x}\, dx=\int_{0}^{3}\sqrt{3}\, x^{1/2}\, dx =\sqrt{3}\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}\Big|_{0}^{3} =\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot (3)^{3/2}.
Como (3)^{3/2}=3\sqrt{3}, isso dá
\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot 3\sqrt{3}=\frac{2\cdot 3\cdot (\sqrt{3})^{2}}{3}=2\cdot 3\cdot\frac{3}{3}=6.
  1. Para as partes polinomiais:
\int_{0}^{3}(-x^{2}+2x)\, dx =\left(-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}\right)\Big|_{0}^{3} =\left(-\frac{27}{3}+9\right)-0 =(-9+9)=0.
Somando as contribuições obtemos
\text{Área}(R)=6+0=6.Á

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{3}\left[\int_{(x-1)^{2}-1}^{\sqrt{3x}} f(x,y)\, dy\right] dx
6

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