Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
3 y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+30 y=e^{x} \operatorname{tg} 3 x

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Enunciado: 3y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+30y = e^{x}\tan 3x.
  • O que pede: resolver a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros e definir um intervalo no qual a solução geral seja válida.
  • Observações importantes retiradas do enunciado:
    • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
    • O lado direito contém \tan 3x, que é singular quando \cos 3x=0. Esses pontos serão excluídos do intervalo de validade da solução.
    • Não há mais informações adicionais; devo aplicar variação dos parâmetros diretamente.

Passo 2

Primeiro simplifico a equação dividindo por 3 para colocá-la na forma padrão:
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+10y = \frac{1}{3}e^{x}\tan 3x.
Explicação: dividir pela coeficiente de y^{\prime\prime} é rotina para aplicar os métodos padrão; aqui o coeficiente é 3.

Passo 3

Agora resolvo a equação homogênea associada. A homogênea é
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+10y=0.
Para resolver essa homogênea faço a equação característica: seja r a raiz correspondente, então
r^{2}-2r+10=0.
Resolvendo a quadrática:
r = \frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot10}}{2} = \frac{2\pm\sqrt{4-40}}{2} = \frac{2\pm\sqrt{-36}}{2} = 1\pm 3i.
Como as raízes são complexas 1\pm 3i, as soluções fundamentais reais são
y_{1}(x)=e^{x}\cos 3x,\qquad y_{2}(x)=e^{x}\sin 3x.
Explicação didática: para raízes a\pm b i da característica, as soluções reais são e^{ax}\cos(bx) e e^{ax}\sin(bx). Aqui a=1 e b=3.

Passo 4

Apresento a fórmula de variação dos parâmetros (forma prática que vou usar) e explico cada símbolo.
Para a equação na forma padrão
y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y = g(x),
com duas soluções fundamentais y_{1},y_{2} da homogênea, uma solução particular pode ser escrita como
y_{p} = -y_{1}(x)\int \frac{y_{2}(x)\,g(x)}{W(x)}\,dx + y_{2}(x)\int \frac{y_{1}(x)\,g(x)}{W(x)}\,dx,
onde W(x) é o Wronskiano de y_{1},y_{2}:
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}^{\prime} & y_{2}^{\prime} \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}y_{2}.
Explicação: g(x) é o termo não-homogêneo (após dividir o líder), e W mede a independência linear das soluções; a fórmula constrói coeficientes variáveis que substituem as constantes da solução homogênea.

Passo 5

Calculo o Wronskiano W(x) das soluções y_{1},y_{2}.
Primeiro derivadas:
y_{1}^{\prime}= \frac{d}{dx}(e^{x}\cos 3x)=e^{x}\cos 3x - 3e^{x}\sin 3x = e^{x}(\cos 3x - 3\sin 3x),
y_{2}^{\prime}= \frac{d}{dx}(e^{x}\sin 3x)=e^{x}\sin 3x + 3e^{x}\cos 3x = e^{x}(\sin 3x + 3\cos 3x).
Agora o Wronskiano:
W(x)=y_{1}y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}y_{2} = e^{x}\cos 3x\cdot e^{x}(\sin 3x + 3\cos 3x) - e^{x}(\cos 3x - 3\sin 3x)\cdot e^{x}\sin 3x.
Fatorando e^{2x} e simplificando trigonométrico:
W(x)=e^{2x}\big(\cos 3x(\sin 3x + 3\cos 3x) - (\cos 3x - 3\sin 3x)\sin 3x\big).
Dentro do parêntese:
\cos 3x\sin 3x + 3\cos^{2}3x - \cos 3x\sin 3x + 3\sin^{2}3x = 3(\cos^{2}3x + \sin^{2}3x)=3.
Portanto
W(x)=3e^{2x}.
Comentário: W(x)\neq 0 para todo x, então y_{1},y_{2} são linearmente independentes em toda reta real.

Passo 6

Identifico g(x) (o lado direito após dividir por 3):
g(x)=\frac{1}{3}e^{x}\tan 3x.
Vou montar as integrais necessárias:
\frac{y_{2}g}{W} = \frac{e^{x}\sin 3x\cdot \tfrac{1}{3}e^{x}\tan 3x}{3e^{2x}} = \frac{1}{9}\cdot\frac{\sin^{2}3x}{\cos 3x},
\frac{y_{1}g}{W} = \frac{e^{x}\cos 3x\cdot \tfrac{1}{3}e^{x}\tan 3x}{3e^{2x}} = \frac{1}{9}\sin 3x.
Explicação: aqui usei \tan 3x = \dfrac{\sin 3x}{\cos 3x} e cancelei e^{2x}.

Passo 7

Calculo as integrais separadamente.
Integral I_{2}:
I_{2}=\int \frac{y_{1}g}{W}\,dx = \int \frac{1}{9}\sin 3x\,dx = \frac{1}{9}\cdot\left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right) = -\frac{1}{27}\cos 3x.
Porque \int \sin(ax)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax).
Integral I_{1}:
I_{1}=\int \frac{y_{2}g}{W}\,dx = \int \frac{1}{9}\cdot\frac{\sin^{2}3x}{\cos 3x}\,dx.
Simplifico o integrando usando \sin^{2}3x = 1-\cos^{2}3x:
\frac{\sin^{2}3x}{\cos 3x} = \frac{1-\cos^{2}3x}{\cos 3x} = \operatorname{sec} 3x - \cos 3x.
Logo
I_{1}=\frac{1}{9}\int (\operatorname{sec} 3x - \cos 3x)\,dx = \frac{1}{9}\left(\int \operatorname{sec} 3x\,dx - \int \cos 3x\,dx\right).
As primitivas:
\int \operatorname{sec} 3x\,dx = \frac{1}{3}\ln\big|\operatorname{sec} 3x + \tan 3x\big|,\qquad \int \cos 3x\,dx = \frac{1}{3}\sin 3x.
Portanto
I_{1}=\frac{1}{9}\left(\frac{1}{3}\ln\big|\operatorname{sec} 3x + \tan 3x\big| - \frac{1}{3}\sin 3x\right) = \frac{1}{27}\ln\big|\operatorname{sec} 3x + \tan 3x\big| - \frac{1}{27}\sin 3x.

Passo 8

Agora monto a solução particular pela fórmula:
y_{p} = -y_{1}\,I_{1} + y_{2}\,I_{2}.
Substituo y_{1}=e^{x}\cos 3x, y_{2}=e^{x}\sin 3x, e I_{1},I_{2}:
Primeiro termo:
-y_{1}I_{1} = -e^{x}\cos 3x\left(\frac{1}{27}\ln\big|\operatorname{sec} 3x + \tan 3x\big| - \frac{1}{27}\sin 3x\right) = -\frac{1}{27}e^{x}\cos 3x\ln\big|\operatorname{sec} 3x + \tan 3x\big| + \frac{1}{27}e^{x}\cos 3x\sin 3x.
Segundo termo:
y_{2}I_{2} = e^{x}\sin 3x\left(-\frac{1}{27}\cos 3x\right)= -\frac{1}{27}e^{x}\sin 3x\cos 3x.
Somando os dois termos, os pedaços com e^{x}\cos 3x\sin 3x cancelam:
y_{p} = -\frac{1}{27}e^{x}\cos 3x\ln\big|\operatorname{sec} 3x + \tan 3x\big|.

Passo 9

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{x}\cos 3x + C_{2}e^{x}\sin 3x - \frac{1}{27}e^{x}\cos 3x\ln\big|\operatorname{sec} 3x + \tan 3x\big|.
Explicação final: C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. A expressão do termo particular contém \ln|\operatorname{sec} 3x + \tan 3x| que exige \cos 3x\neq 0 para estar bem definida (além de \tan 3x no lado direito da ODE).

Passo 10

Defino o intervalo de validade da solução geral.
  • Pontos proibidos: \cos 3x=0, isto é,
3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad\Rightarrow\quad x = \frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.
Nessas abscissas \tan 3x e \operatorname{sec} 3x são singularidades, então a equação original e a solução particular não são definidas ali.
  • Portanto a solução geral é válida em qualquer intervalo aberto que não contenha nenhum desses pontos singulares. Exemplo de intervalo padrão entre duas singularidades:
\left(\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3},\\ \frac{\pi}{6}+(k+1)\frac{\pi}{3}\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Observação: o Wronskiano W(x)=3e^{2x} nunca é zero, logo não há perda de independência das soluções homogêneas; a única limitação vem das singularidades trigonométricas mencionadas.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}\cos 3x + C_{2}e^{x}\sin 3x - \dfrac{1}{27}e^{x}\cos 3x\ln\big|\operatorname{sec} 3x + \tan 3x\big|
Intervalo de validade: qualquer intervalo aberto que não contém pontos x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3} ( k\in\mathbb{Z}), por exemplo \left(\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{6}+(k+1)\dfrac{\pi}{3}\right).

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