Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida. 3 y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+30 y=e^{x} \operatorname{tg} 3 x
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Explicação: g(x) é o termo não-homogêneo (após dividir o líder), e W mede a independência linear das soluções; a fórmula constrói coeficientes variáveis que substituem as constantes da solução homogênea.
Passo 5
Calculo o Wronskiano W(x) das soluções y_{1},y_{2}.
Explicação final: C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. A expressão do termo particular contém \ln|\operatorname{sec} 3x + \tan 3x| que exige \cos 3x\neq 0 para estar bem definida (além de \tan 3x no lado direito da ODE).
Nessas abscissas \tan 3x e \operatorname{sec} 3x são singularidades, então a equação original e a solução particular não são definidas ali.
Portanto a solução geral é válida em qualquer intervalo aberto que não contenha nenhum desses pontos singulares. Exemplo de intervalo padrão entre duas singularidades:
Observação: o Wronskiano W(x)=3e^{2x} nunca é zero, logo não há perda de independência das soluções homogêneas; a única limitação vem das singularidades trigonométricas mencionadas.
Intervalo de validade: qualquer intervalo aberto que não contém pontos x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3} (k\in\mathbb{Z}), por exemplo \left(\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{6}+(k+1)\dfrac{\pi}{3}\right).