Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida. y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}=\operatorname{tg} x
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}=\operatorname{tg} x
e pede: (i) resolver pela variação dos parâmetros; (ii) definir um intervalo onde a solução geral seja válida.
Informações relevantes fornecidas:
A equação é linear, de ordem 3, com coeficiente principal 1.
O termo não-homogêneo é \operatorname{tg} x (ou seja, \tan x), que está definido quando \cos x\neq 0.
Vou procurar a solução geral y(x)=y_h(x)+y_p(x), onde y_h é solução da equação homogênea e y_p é uma solução particular construída por variação dos parâmetros.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}=0.
Para resolver a homogênea usamos a equação característica. Substituindo y=e^{rx} obtemos
r^{3}+r=0 \quad\Longrightarrow\quad r(r^{2}+1)=0.
As raízes são r=0 e r=\pm i. Portanto uma base de soluções fundamentais reais é
Explicação rápida: a raiz r=0 dá solução constante 1; raízes r=\pm i dão \cos x e \sin x. Assim toda solução da homogênea é
y_h(x)=C_1\cdot 1 + C_2\cos x + C_3\sin x.
Passo 3
Princípio da variação dos parâmetros (ordem 3\)). Procuramos uma solução particular na forma
\[y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)+u_3(x)y_3(x),
isto é
y_p(x)=u_1(x)\cdot 1 + u_2(x)\cos x + u_3(x)\sin x,
onde u_1,u_2,u_3 são funções a determinar. Para simplificar as expressões das derivadas impomos duas condições lineares (padronizadas no método) que anulam termos com u'_i nas derivadas intermediárias:
porque o coeficiente do termo de maior derivada é (1]. Agora substituímos as derivadas das soluções fundamentais: y_1=1,\; y_1'=0,\; y_1''=0;\qquad y_2=\cos x,\; y_2'=-\sin x,\; y_2''=-\cos x;
y_3=\sin x,\; y_3'=\cos x,\; y_3''=-\sin x.
Assim o sistema para u_1',u_2',u_3' fica
\begin{cases} u_1' + u_2'\cos x + u_3'\sin x = 0,\\[4pt] 0\cdot u_1' -u_2'\sin x + u_3'\cos x = 0,\\[4pt] 0\cdot u_1' -u_2'\cos x - u_3'\sin x = \operatorname{tg} x. \end{cases}]
Passo 4
Resolver o sistema linear para u_1',u_2',u_3'.
Da segunda equação:
- u_2'\sin x + u_3'\cos x = 0 \quad\Longrightarrow\quad u_3' = \tan x\; u_2'.
Substituindo em a terceira equação:
- u_2'\cos x - u_3'\sin x = \operatorname{tg} x
\Rightarrow -u_2'\cos x - (\tan x\; u_2')\sin x = \operatorname{tg} x.
Simplificando o lado esquerdo:
- u_2'\cos x - u_2' \frac{\sin x}{\cos x}\sin x = -u_2'\left(\cos x + \frac{\sin^{2}x}{\cos x}\right) = -u_2'\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos x} = -\frac{u_2'}{\cos x}.
Portanto
-\frac{u_2'}{\cos x}=\operatorname{tg} x \quad\Longrightarrow\quad u_2' = -\cos x\;\operatorname{tg} x.
Como \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x} isso simplifica para
Observação: esta é uma escolha conveniente de particular; qualquer outra antiderivada que difira por constantes produziria a mesma família geral quando combinada com y_h.
Passo 7
Escrever a solução geral e indicar o intervalo de validade.
A solução geral é
y(x)=C_1 + C_2\cos x + C_3\sin x + 1 - \ln\bigl|\cos x\bigr| - \sin x\;\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|.
Intervalo de validade: como o termo não-homogêneo \operatorname{tg} x e as funções \ln|\cos x|, \ln|\operatorname{sec} x+\tan x| exigem \cos x\neq 0, a solução é válida em qualquer intervalo aberto onde \cos x não se anula. Em notação geral, qualquer intervalo da forma