Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}=\operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}=\operatorname{tg} x
e pede: (i) resolver pela variação dos parâmetros; (ii) definir um intervalo onde a solução geral seja válida.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear, de ordem 3, com coeficiente principal 1.
  • O termo não-homogêneo é \operatorname{tg} x (ou seja, \tan x), que está definido quando \cos x\neq 0.
  • Vou procurar a solução geral y(x)=y_h(x)+y_p(x), onde y_h é solução da equação homogênea e y_p é uma solução particular construída por variação dos parâmetros.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime}=0.
Para resolver a homogênea usamos a equação característica. Substituindo y=e^{rx} obtemos
r^{3}+r=0 \quad\Longrightarrow\quad r(r^{2}+1)=0.
As raízes são r=0 e r=\pm i. Portanto uma base de soluções fundamentais reais é
y_1(x)=1,\qquad y_2(x)=\cos x,\qquad y_3(x)=\sin x.
Explicação rápida: a raiz r=0 dá solução constante 1; raízes r=\pm i dão \cos x e \sin x. Assim toda solução da homogênea é
y_h(x)=C_1\cdot 1 + C_2\cos x + C_3\sin x.

Passo 3

Princípio da variação dos parâmetros (ordem 3\)). Procuramos uma solução particular na forma \[y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)+u_3(x)y_3(x),
isto é
y_p(x)=u_1(x)\cdot 1 + u_2(x)\cos x + u_3(x)\sin x,
onde u_1,u_2,u_3 são funções a determinar. Para simplificar as expressões das derivadas impomos duas condições lineares (padronizadas no método) que anulam termos com u'_i nas derivadas intermediárias:
\begin{cases} u_1'(x)\,y_1(x)+u_2'(x)\,y_2(x)+u_3'(x)\,y_3(x)=0,\\[4pt] u_1'(x)\,y_1'(x)+u_2'(x)\,y_2'(x)+u_3'(x)\,y_3'(x)=0. \end{cases}
Para a terceira equação usamos a equação original: a condição restante é
u_1'(x)\,y_1''(x)+u_2'(x)\,y_2''(x)+u_3'(x)\,y_3''(x)=\operatorname{tg} x,
porque o coeficiente do termo de maior derivada é (1]. Agora substituímos as derivadas das soluções fundamentais:
y_1=1,\; y_1'=0,\; y_1''=0;\qquad y_2=\cos x,\; y_2'=-\sin x,\; y_2''=-\cos x;
y_3=\sin x,\; y_3'=\cos x,\; y_3''=-\sin x.
Assim o sistema para u_1',u_2',u_3' fica
\begin{cases} u_1' + u_2'\cos x + u_3'\sin x = 0,\\[4pt] 0\cdot u_1' -u_2'\sin x + u_3'\cos x = 0,\\[4pt] 0\cdot u_1' -u_2'\cos x - u_3'\sin x = \operatorname{tg} x. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema linear para u_1',u_2',u_3'.
Da segunda equação:
- u_2'\sin x + u_3'\cos x = 0 \quad\Longrightarrow\quad u_3' = \tan x\; u_2'.
Substituindo em a terceira equação:
- u_2'\cos x - u_3'\sin x = \operatorname{tg} x
\Rightarrow -u_2'\cos x - (\tan x\; u_2')\sin x = \operatorname{tg} x.
Simplificando o lado esquerdo:
- u_2'\cos x - u_2' \frac{\sin x}{\cos x}\sin x = -u_2'\left(\cos x + \frac{\sin^{2}x}{\cos x}\right) = -u_2'\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos x} = -\frac{u_2'}{\cos x}.
Portanto
-\frac{u_2'}{\cos x}=\operatorname{tg} x \quad\Longrightarrow\quad u_2' = -\cos x\;\operatorname{tg} x.
Como \operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x} isso simplifica para
u_2' = -\sin x.
Agora u_3'=\tan x\;u_2' = \tan x\;(-\sin x) = -\frac{\sin^{2}x}{\cos x}.
Finalmente, pela primeira equação:
u_1' + u_2'\cos x + u_3'\sin x = 0
\Rightarrow u_1' = -\cos x\;u_2' - \sin x\;u_3'.
Substituindo u_2'=-\sin x e u_3'=-\dfrac{\sin^{2}x}{\cos x}:
u_1' = -\cos x\;(-\sin x) - \sin x\left(-\frac{\sin^{2}x}{\cos x}\right) = \sin x\cos x + \frac{\sin^{3}x}{\cos x} = \frac{\sin x(\cos^{2}x+\sin^{2}x)}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{tg} x.

Passo 5

Integrar u_1',u_2',u_3' para obter u_1,u_2,u_3 (escolhendo constantes de integração zero, pois constantes são absorvidas em y_h).
  • Para u_1':
u_1'=\operatorname{tg} x \quad\Rightarrow\quad u_1(x)=\int \operatorname{tg} x\;dx = -\ln\bigl|\cos x\bigr|.
Explicação: \int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C.
  • Para u_2':
u_2'=-\sin x \quad\Rightarrow\quad u_2(x)=\int -\sin x\;dx = \cos x.
  • Para u_3':
u_3'=-\frac{\sin^{2}x}{\cos x} = -\left(\frac{1-\cos^{2}x}{\cos x}\right) = \cos x - \operatorname{sec} x.
Logo
u_3(x)=\int\bigl(\cos x - \operatorname{sec} x\bigr)\,dx = \sin x - \ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr|.
Explicação: \int \operatorname{sec} x\,dx=\ln|\operatorname{sec} x + \tan x| + C.

Passo 6

Montar a solução particular y_p. Lembrando y_p=u_1\cdot 1 + u_2\cos x + u_3\sin x, substituímos as funções encontradas:
y_p(x)=u_1(x)+u_2(x)\cos x+u_3(x)\sin x.
Substituindo:
y_p(x) = -\ln\bigl|\cos x\bigr| + \cos x\cdot\cos x +\bigl(\sin x-\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|\bigr)\sin x.
Agrupando termos e usando \cos^{2}x+\sin^{2}x=1:
y_p(x)=1 - \ln\bigl|\cos x\bigr| - \sin x\;\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|.
Observação: esta é uma escolha conveniente de particular; qualquer outra antiderivada que difira por constantes produziria a mesma família geral quando combinada com y_h.

Passo 7

Escrever a solução geral e indicar o intervalo de validade.
A solução geral é
y(x)=C_1 + C_2\cos x + C_3\sin x + 1 - \ln\bigl|\cos x\bigr| - \sin x\;\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|.
Intervalo de validade: como o termo não-homogêneo \operatorname{tg} x e as funções \ln|\cos x|, \ln|\operatorname{sec} x+\tan x| exigem \cos x\neq 0, a solução é válida em qualquer intervalo aberto onde \cos x não se anula. Em notação geral, qualquer intervalo da forma
\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\;\frac{\pi}{2}+k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z},
é um intervalo de validade maximal da solução.

Resposta

y(x)=C_1 + C_2\cos x + C_3\sin x + 1 - \ln\bigl|\cos x\bigr| - \sin x\;\ln\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|
Intervalos de validade: x\in\Bigl(-\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\;\dfrac{\pi}{2}+k\pi\Bigr), k\in\mathbb{Z}.

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