Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
4 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+y=e^{x / 2} \sqrt{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
4y''-4y'+y=e^{x/2}\sqrt{1-x^{2}}
e pede: resolver usando o método da variação dos parâmetros e definir um intervalo em que a solução geral seja válida.
Informações relevantes fornecidas:
  • Equação linear com coeficientes constantes e termo não-homogêneo e^{x/2}\sqrt{1-x^{2}}.
  • É necessário encontrar a solução geral y(x) (solução geral = solução homogênea + particular).
  • Deve-se indicar um intervalo onde a solução geral é válida (considere a presença de \sqrt{1-x^{2}} e das integrais que surgirão).

Passo 2

Primeiro resolvo a equação homogênea associada:
4y''-4y'+y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes uso a equação característica substituindo y\mapsto e^{rx}:
4r^{2}-4r+1=0.
Essa quadrática reconhece-se como um quadrado perfeito:
(2r-1)^{2}=0,
logo há uma raiz real dupla
r=\tfrac{1}{2}\quad\text{(multiplicidade 2)}.
Quando a raiz r é dupla, as soluções fundamentais são
y_{1}(x)=e^{x/2},\qquad y_{2}(x)=x e^{x/2}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x/2}.

Passo 3

Coloco a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=g(x) dividindo por 4:
y''-y'+\tfrac{1}{4}y=\tfrac{1}{4}e^{x/2}\sqrt{1-x^{2}}.
Assim
g(x)=\tfrac{1}{4}e^{x/2}\sqrt{1-x^{2}}.
Vou aplicar variação dos parâmetros com as soluções fundamentais y_{1} e y_{2} encontradas.

Passo 4

Calculo o Wronskiano W(y_{1},y_{2}):
y_{1}(x)=e^{x/2},\quad y_{1}'(x)=\tfrac{1}{2}e^{x/2},
y_{2}(x)=x e^{x/2},\quad y_{2}'(x)=e^{x/2}+x\cdot\tfrac{1}{2}e^{x/2}=e^{x/2}\big(1+\tfrac{x}{2}\big).
Então
W=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = e^{x/2}\cdot e^{x/2}\big(1+\tfrac{x}{2}\big)-\tfrac{1}{2}e^{x/2}\cdot x e^{x/2} = e^{x}\big(1+\tfrac{x}{2}-\tfrac{x}{2}\big)=e^{x}.
Observação: W(x)=e^{x}\neq 0 para todo x, portanto as duas soluções são linearmente independentes e não há singularidade por divisão por W.

Passo 5

Relembre a fórmula da variação dos parâmetros para segunda ordem: se y_{1},y_{2} são soluções fundamentais e a equação está na forma padrão com termo não-homogêneo g(x), então existem funções u_{1}(x),u_{2}(x) tais que
y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2},
com
u_{1}'=-\frac{y_{2}g}{W},\qquad u_{2}'=\frac{y_{1}g}{W}.
Vou calcular u_{1}' e u_{2}' substituindo y_{1},y_{2},g,W.

Passo 6

Substituindo:
g(x)=\tfrac{1}{4}e^{x/2}\sqrt{1-x^{2}},\qquad W=e^{x},
então
u_{1}'=-\frac{y_{2}g}{W}=-\frac{x e^{x/2}\cdot \tfrac{1}{4}e^{x/2}\sqrt{1-x^{2}}}{e^{x}} = -\tfrac{1}{4}x\sqrt{1-x^{2}},
e
u_{2}'=\frac{y_{1}g}{W}=\frac{e^{x/2}\cdot \tfrac{1}{4}e^{x/2}\sqrt{1-x^{2}}}{e^{x}} = \tfrac{1}{4}\sqrt{1-x^{2}}.
Note como o fator e^{x/2}\cdot e^{x/2}/e^{x} simplificou para 1 — isso simplifica muito as integrais a seguir.

Passo 7

Integro u_{2}' para obter u_{2}:
u_{2}(x)=\int \tfrac{1}{4}\sqrt{1-x^{2}}\,dx.
Usando a primitiva padrão
\int \sqrt{1-x^{2}}\,dx=\tfrac{x}{2}\sqrt{1-x^{2}}+\tfrac{1}{2}\arcsin x + C,
segue
u_{2}(x)=\tfrac{1}{4}\Big(\tfrac{x}{2}\sqrt{1-x^{2}}+\tfrac{1}{2}\arcsin x\Big)+C = \tfrac{1}{8}x\sqrt{1-x^{2}}+\tfrac{1}{8}\arcsin x + C.
Na variação dos parâmetros podemos tomar a constante de integração igual a zero porque constantes multiplicadas por y_{2} serão absorvidas na solução homogênea; assim escolho C=0:
u_{2}(x)=\tfrac{1}{8}x\sqrt{1-x^{2}}+\tfrac{1}{8}\arcsin x .

Passo 8

Agora integro u_{1}':
u_{1}(x)=\int -\tfrac{1}{4}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx.
Faço a substituição t=1-x^{2}, então dt=-2x\,dx e x\,dx=-\tfrac{1}{2}dt. Assim
u_{1}(x)=-\tfrac{1}{4}\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx =-\tfrac{1}{4}\int x t^{1/2}\,dx =-\tfrac{1}{4}\int t^{1/2}\big(-\tfrac{1}{2}dt\big) =\tfrac{1}{8}\int t^{1/2}dt =\tfrac{1}{8}\cdot\tfrac{2}{3}t^{3/2}+C.
Voltando a x,
u_{1}(x)=\tfrac{1}{12}\big(1-x^{2}\big)^{3/2}+C.
Escolho C=0 (mesmo motivo: constantes vão para a parte homogênea), então
u_{1}(x)=\tfrac{1}{12}\big(1-x^{2}\big)^{3/2}.

Passo 9

Obtenho uma solução particular usando y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}:
y_{p}(x)=\Big(\tfrac{1}{12}(1-x^{2})^{3/2}\Big)e^{x/2} +\Big(\tfrac{1}{8}x\sqrt{1-x^{2}}+\tfrac{1}{8}\arcsin x\Big)\cdot x e^{x/2}.
Agrupando e fatorando e^{x/2}:
y_{p}(x)=e^{x/2}\Big[\tfrac{1}{12}(1-x^{2})^{3/2}+\tfrac{1}{8}x^{2}\sqrt{1-x^{2}}+\tfrac{1}{8}x\arcsin x\Big].
Agora simplifico os dois primeiros termos que têm \sqrt{1-x^{2}} em comum. Observando (1-x^{2})^{3/2}=(1-x^{2})\sqrt{1-x^{2}}, tem-se
\tfrac{1}{12}(1-x^{2})^{3/2}+\tfrac{1}{8}x^{2}\sqrt{1-x^{2}} =\sqrt{1-x^{2}}\Big(\tfrac{1}{12}(1-x^{2})+\tfrac{1}{8}x^{2}\Big).
Calculo o coeficiente:
\tfrac{1}{12}(1-x^{2})+\tfrac{1}{8}x^{2}=\tfrac{1}{12}+\big(-\tfrac{1}{12}+\tfrac{1}{8}\big)x^{2} =\tfrac{1}{12}+\tfrac{1}{24}x^{2}=\tfrac{1}{24}(2+x^{2}).
Portanto
y_{p}(x)=e^{x/2}\Big[\tfrac{1}{24}(2+x^{2})\sqrt{1-x^{2}}+\tfrac{1}{8}x\arcsin x\Big].

Passo 10

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) =e^{x/2}\Big(C_{1}+C_{2}x\Big)+e^{x/2}\Big[\tfrac{1}{24}(2+x^{2})\sqrt{1-x^{2}}+\tfrac{1}{8}x\arcsin x\Big].
Fatorando e^{x/2}:
y(x)=e^{x/2}\Big(C_{1}+C_{2}x+\tfrac{1}{24}(2+x^{2})\sqrt{1-x^{2}}+\tfrac{1}{8}x\arcsin x\Big).

Passo 11

Intervalo de validade: o termo \sqrt{1-x^{2}} e a primitiva que gerou \arcsin x exigem que trabalhemos em um intervalo onde 1-x^{2}\ge 0 e \arcsin x esteja bem definida como função real. Assim a escolha natural é qualquer intervalo contido em (-1,1). Além disso o Wronskiano W=e^{x} nunca zera, então não há outras singularidades vindas da equação homogênea. Portanto a solução geral real encontrada é válida em qualquer intervalo contido em (-1,1) (por exemplo (-1,1) ou qualquer subintervalo fechado interno como [-0{,}9,0{,}9]).

Resposta

y(x)=e^{x/2}\Big(C_{1}+C_{2}x+\tfrac{1}{24}(2+x^{2})\sqrt{1-x^{2}}+\tfrac{1}{8}x\arcsin x\Big),\quad |x|<1.

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