Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida. 4 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+y=e^{x / 2} \sqrt{1-x^{2}}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
4y''-4y'+y=e^{x/2}\sqrt{1-x^{2}}
e pede: resolver usando o método da variação dos parâmetros e definir um intervalo em que a solução geral seja válida.
Informações relevantes fornecidas:
Equação linear com coeficientes constantes e termo não-homogêneo e^{x/2}\sqrt{1-x^{2}}.
É necessário encontrar a solução geral y(x) (solução geral = solução homogênea + particular).
Deve-se indicar um intervalo onde a solução geral é válida (considere a presença de \sqrt{1-x^{2}} e das integrais que surgirão).
Passo 2
Primeiro resolvo a equação homogênea associada:
4y''-4y'+y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes uso a equação característica substituindo y\mapsto e^{rx}:
4r^{2}-4r+1=0.
Essa quadrática reconhece-se como um quadrado perfeito:
(2r-1)^{2}=0,
logo há uma raiz real dupla
r=\tfrac{1}{2}\quad\text{(multiplicidade 2)}.
Quando a raiz r é dupla, as soluções fundamentais são
y_{1}(x)=e^{x/2},\qquad y_{2}(x)=x e^{x/2}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x/2}.
Passo 3
Coloco a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=g(x) dividindo por 4:
Observação: W(x)=e^{x}\neq 0 para todo x, portanto as duas soluções são linearmente independentes e não há singularidade por divisão por W.
Passo 5
Relembre a fórmula da variação dos parâmetros para segunda ordem: se y_{1},y_{2} são soluções fundamentais e a equação está na forma padrão com termo não-homogêneo g(x), então existem funções u_{1}(x),u_{2}(x) tais que
Note como o fator e^{x/2}\cdot e^{x/2}/e^{x} simplificou para 1 — isso simplifica muito as integrais a seguir.
Passo 7
Integro u_{2}' para obter u_{2}:
u_{2}(x)=\int \tfrac{1}{4}\sqrt{1-x^{2}}\,dx.
Usando a primitiva padrão
\int \sqrt{1-x^{2}}\,dx=\tfrac{x}{2}\sqrt{1-x^{2}}+\tfrac{1}{2}\arcsin x + C,
segue
u_{2}(x)=\tfrac{1}{4}\Big(\tfrac{x}{2}\sqrt{1-x^{2}}+\tfrac{1}{2}\arcsin x\Big)+C = \tfrac{1}{8}x\sqrt{1-x^{2}}+\tfrac{1}{8}\arcsin x + C.
Na variação dos parâmetros podemos tomar a constante de integração igual a zero porque constantes multiplicadas por y_{2} serão absorvidas na solução homogênea; assim escolho C=0:
u_{2}(x)=\tfrac{1}{8}x\sqrt{1-x^{2}}+\tfrac{1}{8}\arcsin x .
Passo 8
Agora integro u_{1}':
u_{1}(x)=\int -\tfrac{1}{4}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx.
Faço a substituição t=1-x^{2}, então dt=-2x\,dx e x\,dx=-\tfrac{1}{2}dt. Assim
u_{1}(x)=-\tfrac{1}{4}\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx =-\tfrac{1}{4}\int x t^{1/2}\,dx =-\tfrac{1}{4}\int t^{1/2}\big(-\tfrac{1}{2}dt\big) =\tfrac{1}{8}\int t^{1/2}dt =\tfrac{1}{8}\cdot\tfrac{2}{3}t^{3/2}+C.
Voltando a x,
u_{1}(x)=\tfrac{1}{12}\big(1-x^{2}\big)^{3/2}+C.
Escolho C=0 (mesmo motivo: constantes vão para a parte homogênea), então
u_{1}(x)=\tfrac{1}{12}\big(1-x^{2}\big)^{3/2}.
Passo 9
Obtenho uma solução particular usando y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}:
y_{p}(x)=\Big(\tfrac{1}{12}(1-x^{2})^{3/2}\Big)e^{x/2} +\Big(\tfrac{1}{8}x\sqrt{1-x^{2}}+\tfrac{1}{8}\arcsin x\Big)\cdot x e^{x/2}.
Intervalo de validade: o termo \sqrt{1-x^{2}} e a primitiva que gerou \arcsin x exigem que trabalhemos em um intervalo onde 1-x^{2}\ge 0 e \arcsin x esteja bem definida como função real. Assim a escolha natural é qualquer intervalo contido em (-1,1). Além disso o Wronskiano W=e^{x} nunca zera, então não há outras singularidades vindas da equação homogênea. Portanto a solução geral real encontrada é válida em qualquer intervalo contido em (-1,1) (por exemplo (-1,1) ou qualquer subintervalo fechado interno como [-0{,}9,0{,}9]).