Nos Problemas 27 e 28, resolva o sistema dado sujeito às condições iniciais indicadas.
28.
28.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear de equações diferenciais de ordem 1 com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é sistemas lineares homogêneos e vamos precisar do método de autovalores e autovetores para montar a solução geral.
Passo 2
Para começar, montamos o polinômio característico de
Passo 3
Resolvendo
pela fórmula de Bhaskara, temos
Portanto os autovalores são complexos conjugados.
Passo 4
Agora achamos um autovetor para
. Resolvemos
Da primeira linha vem
, ou seja, escolhemos
e
.
Passo 5
Para montar a solução real geral, escrevemos
Calculando
temos os vetores reais
Passo 6
Aplicando a condição inicial
, notamos que em
vale
e então
leva a
e
.
Passo 7
Substituindo
e
e organizando, chegamos à solução:
e
dadas por