Nos Problemas 27 e 28, resolva o sistema dado sujeito às condições iniciais indicadas.
28. X^prime=(rr6 & -1 5 & 4) X, X(0)=binom-28

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de equações diferenciais de ordem 1 com coeficientes constantes
X' = 6 & -15 & 4X, X(0)=-28
O conteúdo aqui é sistemas lineares homogêneos e vamos precisar do método de autovalores e autovetores para montar a solução geral.

Passo 2

Para começar, montamos o polinômio característico de
A=6 & -15 & 4:
det(A-lambda I)=(6-lambda)(4-lambda)-(-1)cdot5 =lambda^2-10lambda+29=0

Passo 3

Resolvendo lambda^2-10lambda+29=0 pela fórmula de Bhaskara, temos
lambda=10pmraiz100-1162=5pm2i
Portanto os autovalores são complexos conjugados.

Passo 4

Agora achamos um autovetor para lambda=5+2i. Resolvemos
(A-(5+2i)I)v=0Longrightarrow 1-2i & -15 & -1-2i v1v2=0
Da primeira linha vem (1-2i)v1-v2=0, ou seja, escolhemos v1=1 e v2=1-2i.

Passo 5

Para montar a solução real geral, escrevemos
X(t)=e^5tl(C1Re(e^2itv)+C2Im(e^2itv)r)
Calculando
e^2itv=e^2it(1-2i)e^2it =cos2t+isin2t(cos2t+2sin2t)+i(sin2t-2cos2t),
temos os vetores reais
u=cos2tcos2t+2sin2t, w=sin2tsin2t-2cos2t

Passo 6

Aplicando a condição inicial X(0)=(-2,8)^T, notamos que em t=0 vale
u(0)=11, w(0)=0-2,
e então
X(0)=C1nu(0)+C2w(0)=C1C1-2C2=-28
leva a C1=-2 e C2=-5.

Passo 7

Substituindo C1 e C2 e organizando, chegamos à solução: x1(t) e x2(t) dadas por

Passo 8

Resposta

x1(t)=e^5tl(-2cos2t-5sin2tr), x2(t)=e^5tl(8cos2t-9sin2tr).

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