Suponha que
tem derivadas parciais de primeira e segunda ordens contínuas e que
, onde
e
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o laplaciano de f em coordenadas cartesianas (x,y) coincide com o laplaciano de F em coordenadas polares (r,θ). O conteúdo principal é a aplicação da regra da cadeia para derivadas parciais de primeira e segunda ordem, além de usar identidades trigonométricas.
Passo 2
Vamos obter primeiro as derivadas parciais de F em relação a r e θ usando a regra da cadeia de ordem 1:
Para r temos
Para r temos
Para θ temos
Passo 3
Agora derivamos F_r em relação a r usando regra da cadeia de ordem 2. Como x_r=\cosθ e y_r=\sinθ, e f_xx, f_xy, f_yy são as segundas derivadas de f, obtemos
Passo 4
Em seguida derivamos F_θ em relação a θ de novo por regra da cadeia de segunda ordem. Como x_θ=-r\sinθ e y_θ=r\cosθ, achamos
Passo 5
Basta agora montar
Substituindo as expressões e usando
Isso mostra que