Suponha que w=f(x, y) tem derivadas parciais de primeira e segunda ordens contínuas e que F(r, theta)= f(x(r, theta), y(r, theta)), onde x(r, theta)=r cos theta e y(r, theta)=r sen theta. Mostre que
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=partial^2 Fpartial r^2+1r partial Fpartial r+1r^2 partial^2 Fpartial theta^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o laplaciano de f em coordenadas cartesianas (x,y) coincide com o laplaciano de F em coordenadas polares (r,θ). O conteúdo principal é a aplicação da regra da cadeia para derivadas parciais de primeira e segunda ordem, além de usar identidades trigonométricas.

Passo 2

Vamos obter primeiro as derivadas parciais de F em relação a r e θ usando a regra da cadeia de ordem 1:
Para r temos
Fr = fx,xr + fy,yr = fxcostheta + fysintheta
Para θ temos
Ftheta = fx,xtheta + fy,ytheta = fx(-rsintheta)+fy(rcostheta)

Passo 3

Agora derivamos F_r em relação a r usando regra da cadeia de ordem 2. Como x_r=\cosθ e y_r=\sinθ, e f_xx, f_xy, f_yy são as segundas derivadas de f, obtemos
Frr=partialpartial r(fxcostheta+fysintheta) = fxxcos^2theta + 2fxycosthetasintheta + fyysin^2theta

Passo 4

Em seguida derivamos F_θ em relação a θ de novo por regra da cadeia de segunda ordem. Como x_θ=-r\sinθ e y_θ=r\cosθ, achamos
Fthetatheta=r^2l(fxxsin^2theta - 2fxysinthetacostheta + fyycos^2thetar)-rl(fxcostheta+fysinthetar)

Passo 5

Basta agora montar
Frr+1rFr+1r^2Fthetatheta
Substituindo as expressões e usando cos^2theta+sin^2theta=1 e cancelando termos com fx e fy, surge exatamente
fxx+fyy.
Isso mostra que
partial^2fpartial x^2+partial^2fpartial y^2=Frr+1rFr+1r^2Fthetatheta

Resposta

partial^2fpartial x^2+partial^2fpartial y^2=partial^2Fpartial r^2+1rpartial Fpartial r+1r^2partial^2Fpartial theta^2

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