Se Phi(t) é uma matriz fundamental do sistema, o problema de valor inicial X^prime=A X, X(to)=X, admite a solução X=Phi(t) Phi^-1(t0) Xn (veja o Problema 35, Exercícios 8.5). Nos Problemas 41 e 42, utilize esse resultado para resolver o sistema dado, sujeito à condição inicial indicada.
42. X^prime=(rr-225 & 150 225 & -225) X, X(0)=binom250

Passo 1

Temos o sistema X'=A X com
A=-tfrac225&tfrac150[6pt]tfrac225&-tfrac225
e condição inicial X(0)=250. O conteúdo é sistemas lineares com coeficientes constantes e vamos usar autovalores, autovetores e matriz fundamental para resolver.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=-tfrac225-lambda&tfrac150[4pt]tfrac225&-tfrac225-lambda=0
Calculando traço e determinante: tr(A)=-tfrac425 e det(A)=tfrac4625-tfrac21250=tfrac122500=tfrac3625. O discriminante é
tfrac225
com raiz lambda1,2=-tfrac425pmtfrac2252=-125,;-325 . Logo

Passo 3

Agora achamos um autovetor para lambda1=-tfrac125. Resolvendo
l(A+tfrac125Ir)v=0
vem
-tfrac225+tfrac125&tfrac150[4pt]tfrac225&-tfrac225+tfrac125v=-tfrac125&tfrac150[4pt]tfrac225&-tfrac125v=0
que dá a relação -v1+tfrac12v2=0, escolhendo v2=2 obtemos v1=1. Assim v1=(1,2)^T.
Para lambda2=-tfrac325 a conta análoga dá v2=(1,-2)^T.

Passo 4

A matriz fundamental fica
Phi(t)=l[v1e^lambda1t,;v2e^lambda2tr] =e^-t/25&e^-3t/25[4pt]2e^-t/25&-2e^-3t/25
Em particular
Phi(0)=1&1[4pt]2&-2

Passo 5

Invertendo Phi(0), com determinante -4, vem
Phi(0)^-1=1-4-2&-1[4pt]-2&1 =tfrac12&tfrac14[4pt]tfrac12&-tfrac14

Passo 6

Pela fórmula X(t)=Phi(t)Phi(0)^-1 X(0), calculamos primeiro
Phi(0)^-1 X(0)=tfrac12&tfrac14[4pt]tfrac12&-tfrac14250=12.512.5
Isso nos dá os coeficientes c1=c2=12.5.

Passo 7

Finalmente,
X(t)=12.512e^-t/25+12.51-2e^-3t/25

Resposta

X(t)=12.512e^-t/25+12.51-2e^-3t/25

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