Nos problemas de 1 a 32, resolva a equação diferencial. Se for dada uma condiçăo inicial, encontre, também, a solução que a satisfaz.
10. \left(3 y^{2}+2 x y\right) d x-\left(2 x y+x^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(3y^{2}+2xy)\,dx \;-\;(2xy + x^{2})\,dy = 0,
sem condição inicial. O que a gente vai usar aqui é o fato de que é uma equação homogênea (todas as parcelas têm grau 2 em x,y), então vale a substituição y=vx.

Passo 2

Primeiro, isole a derivada
(3y^{2}+2xy)\,dx = (2xy + x^{2})\,dy \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{3y^{2}+2xy}{2xy + x^{2}}.

Passo 3

Como é homogênea, defina v = \frac{y}{x}, ou seja y = vx. Então
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na expressão da derivada, obtemos
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{3(vx)^{2} + 2x(vx)}{2x(vx) + x^{2}} = \frac{x^{2}(3v^{2}+2v)}{x^{2}(2v+1)} = \frac{3v^{2}+2v}{2v+1}.
Dessa forma
x\frac{dv}{dx} = \frac{3v^{2}+2v}{2v+1} - v = \frac{v^{2}+v}{2v+1} = \frac{v(v+1)}{2v+1}.

Passo 4

Separe variáveis:
\frac{2v+1}{v(v+1)}\,dv = \frac{dx}{x}.

Passo 5

Agora integre ambos os lados. No lado esquerdo use frações parciais:
\frac{2v+1}{v(v+1)} = \frac{1}{v} + \frac{1}{v+1}.
Logo
\int\!\Bigl(\tfrac1v + \tfrac1{v+1}\Bigr)\,dv = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|v(v+1)\bigr| = \ln|x| + C.

Passo 6

Volte à variável original y. Como v = \tfrac{y}{x}, temos
v(v+1) = \frac{y}{x}\Bigl(\frac{y}{x}+1\Bigr) = \frac{y^{2} + xy}{x^{2}},
portanto
\ln\!\Bigl|\tfrac{y^{2}+xy}{x^{2}}\Bigr| = \ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}+xy}{x^{2}} = K\,x
onde K=e^{C}. Multiplicando por x^{2} chega-se à forma final.

Resposta

y^{2} + x\,y = C\,x^{3},
com C constante arbitrária.

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