Nos problemas de 1 a 32, resolva a equação diferencial. Se for dada uma condiçăo inicial, encontre, também, a solução que a satisfaz.
4. \left(x+e^{y}\right) d y-d x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial (x+e^y)\,dy - dx = 0. Podemos reescrevê-la isolando \frac{dx}{dy}:
\frac{dx}{dy} = x + e^y,
mostrando que se trata de uma equação linear de primeira ordem em x(y).

Passo 2

Para resolver \frac{dx}{dy} - x = e^y usamos fator integrante
\mu(y) = e^{-\int 1\,dy} = e^{-y}.
Multiplicando a equação por e^{-y} obtemos
e^{-y}\frac{dx}{dy} - e^{-y}x = e^{-y}e^y = 1,
e o lado esquerdo é precisamente
\frac{d}{dy}\bigl(x\,e^{-y}\bigr).

Passo 3

Integrando ambos os lados em relação a y resulta
\int \frac{d}{dy}(x\,e^{-y})\,dy = \int 1\,dy \quad\Longrightarrow\quad x\,e^{-y} = y + C.
Isolando x, vem
x = e^y\,(y + C).

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
\boxed{x = e^y\,(y + C)},
ou de forma implícita
\boxed{x\,e^{-y} - y = C}.

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