Nos problemas de 1 a 32, resolva a equação diferencial. Se for dada uma condiçăo inicial, encontre, também, a solução que a satisfaz.
15. \left(e^{x}+1\right) \frac{d y}{d x}=y-y e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(e^{x}+1\bigr)\,\frac{dy}{dx}=y - y\,e^{x},
que é separável. Vamos usar separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Primeiro isolamos \tfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} =\frac{y - y\,e^{x}}{e^{x}+1} =y\;\frac{1 - e^{x}}{e^{x}+1}.

Passo 3

Agora separamos variáveis:
\frac{1}{y}\,dy =\frac{1 - e^{x}}{e^{x}+1}\,dx,
e integramos ambos os lados.

Passo 4

Para integrar o lado direito, escrevemos
\frac{1 - e^{x}}{e^{x}+1} = -1 \;+\;\frac{2}{e^{x}+1},
pois 1 - e^{x}= -(e^{x}-1)= -\bigl(e^{x}+1\bigr)+2. Assim
\int\frac{1 - e^{x}}{e^{x}+1}\,dx =\int\bigl(-1\bigr)\,dx +2\int\frac{dx}{e^{x}+1} =-x+2\int\frac{dx}{e^{x}+1}.
Para \displaystyle\int\frac{dx}{e^{x}+1}, faça t=e^{x}, dt=e^{x}dx, logo
\int\frac{dx}{e^{x}+1} =\int\frac{dt}{t(t+1)} =\int\Bigl(\frac1t-\frac1{t+1}\Bigr)\,dt =\ln|t|-\ln|t+1| =x-\ln\bigl(e^{x}+1\bigr).
Portanto
\int\frac{1 - e^{x}}{e^{x}+1}\,dx =-x+2\bigl(x-\ln(e^{x}+1)\bigr) =x-2\ln\bigl(e^{x}+1\bigr)+C.

Passo 5

Voltando à separação de variáveis, temos
\int\frac{dy}{y} =\ln|y| \quad\text{e}\quad \int\frac{1 - e^{x}}{e^{x}+1}\,dx =x-2\ln\bigl(e^{x}+1\bigr)+C.
Logo
\ln|y|=x-2\ln\bigl(e^{x}+1\bigr)+C,
o que implica
y=C'\,\frac{e^{x}}{\bigl(e^{x}+1\bigr)^{2}},
onde C'=e^{C} é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
\boxed{y=C\,\frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}},}
com C constante.

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