Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.
19. \mathscr{I}^{-1}\left\{\frac{4 s}{4 s^{2}+1}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa \mathscr{I}^{-1} da função
\frac{4 s}{4 s^{2}+1}.
Informações dadas: a expressão está em termos da variável de Laplace s e queremos a função no domínio do tempo (variável t), normalmente para t\ge 0. Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Vamos recordar (o que o Teorema 7.3 fornece) as transformadas de Laplace básicas que usaremos:
\mathcal{L}\{\cos(a t)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\sin(a t)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui s é a variável complexa da transformada de Laplace, t é a variável de tempo e a é um parâmetro positivo. A transformada inversa \mathscr{I}^{-1} faz o caminho contrário: dado \frac{s}{s^{2}+a^{2}} retorna \cos(a t).

Passo 3

Agora manipulo algebricamente a expressão dada para colocá‑la na forma \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}. Começo fatorando 4 no denominador:
\frac{4 s}{4 s^{2}+1}=\frac{4 s}{4\left(s^{2}+\tfrac{1}{4}\right)}=\frac{s}{s^{2}+\tfrac{1}{4}}.

Passo 4

Repito a escrita destacando o quadrado:
\frac{s}{s^{2}+\tfrac{1}{4}}=\frac{s}{s^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}.
Comparando com a fórmula do Passo 2, vemos que a=\tfrac{1}{2}. Portanto a transformada inversa é
\mathscr{I}^{-1}\left\{\frac{4 s}{4 s^{2}+1}\right\}=\cos\!\left(\tfrac{1}{2}t\right)=\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right).

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): calcule a transformada direta de \cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right):
\mathcal{L}\{\cos(\tfrac{t}{2})\}=\frac{s}{s^{2}+(\tfrac{1}{2})^{2}}=\frac{s}{s^{2}+\tfrac{1}{4}}=\frac{4s}{4s^{2}+1},
ou seja, confere com a função dada.

Resposta

\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right)

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